初談套利 (Arbitrage)II：天下沒有白吃的午餐！

本文摘要：我們說明套利機會的出現，來自於市場上兩方認知的不同，即所謂的資訊不對稱。市場上或許有不公平的地方，例如法人大戶仗著資金優勢打壓資金少的小散戶。然而，只要認知對、信仰正確，就有可能遇到賺錢的機會。老天終究還是公平的：認知越對，獲利越多！

回顧上週：不同的信仰，造成套利機會的出現

上篇文章我們談到選擇權的套利。我們可用現金存放與股票買賣的方式，組合出具有同樣損益的買權。而利用這樣的方式我們只花了 5 元成本，比市價 6 元的買權還便宜 1 元，也因此有 1 元的套利空間。

這看似穩賺的獲利，是多麼美好的一件事。然而事情真的如此浪漫簡單嗎？很多讀者來信覺得上週內容過於複雜，事實上牧清華只想傳達一個概念：所有套利機會的出現，來自於市場玩家對事件看法(認知、信仰)的不同。

再回到上週文章裡市場價格為 6 元的買權。我們仔細思考 6 元的由來!

因為在時間點 t = 1 有 60%的機會賺 10 元；40%的機會賺 0 元，故期望獲利為 6 元。

既然在時間點 t = 1 的期望獲利是 6 元，理論上在時間點 t = 0 的價值也應該是 6 元 (簡單起見，先不考慮其他會讓選擇權價格變動的因素)。注意到這裡用到一個假設條件：

有60%的機會賺10元；有40%的機會賺0元。

上面這句話是沒有人可以肯定其正確性的。可能對，也可能不對。天知道實際的機率分佈是長什麼樣？只是，"市場價格 6 元"這個事實，反映出"市場上玩家平均認為的機率分佈"：那就是60%的機率漲到120元；40%的機率跌到80元，我們用 B = (60%,40%) 代表之。

另一方面，為何可以"創造"出價值為 5 元的買權？一樣我們仔細思考 5 元的由來！

注意到在創造出買權的過程裡，並沒有主觀的機率認定。股價可能從100元漲20到120元；也可能從100元跌20到80元。因為漲跌都是20元，所以機率各為50%。這樣的機率完全由漲跌幅的大小決定，換句話說，這是客觀的機率，我們先用 b = (50%,50%) 表示之。

在這客觀的機率分佈下，有 50% 的機率賺 10 元，有 50% 的機率賺 0 元，故在時間點 t = 1的獲利期望值為 5 元，在時間點 t = 0 的期望值也應為 5 元。

我們在此做個小結，到底套利機會在哪？怎麼發生？

小結：
市場上大家認為的機率為 B = (60%,40%)；客觀的機率為 b = (50%,50%)。
B 與 b 的差異，產生了1元的套利空間。差異越大，套利空間就越大。

舉例來說：如果市場上大家認為的機率為 B' = (90%,10%)，很明顯 B' 與 b 的差異，比 B 與 b 的差異更大，則套利空間肯定更多。

仔細算一下，若 B' 真為市場上大家認為的機率平均，則在時間點 t = 0 的買權價格應為9元，與客觀機率所反映出來的5元買權相比，套利空間多達4元。

所有套利的組合，都是因為有價差的關係，是什麼造成了價差？是每個人對事情看法認知的不同。

你的信仰決定你的獲利多寡!

這句話似乎在前面凱利賭徒的文章出現過。沒錯，事實上凱利賭徒的行為可以說就是在做某種套利動作。套什麼利？套你的認知與市場上的認知，兩個認知差異距離的利！這樣說法有點抽象。首先，何謂差異？用什麼方法去衡量差異有多大？

在數學的世界裡，我們用 measure (測度)這樣的字眼去描述 "距離" 的概念。舉例來說，我們生活中最常聽到的就是歐式距離，用來描述空間中兩點分開的距離有多遠，距離越遠差異越大！

還記得國中數學教過的直角三角形上的畢氏定理吧！a²+ b²= c²(兩邊的平方和等於斜邊的平方)，這就是一種計算兩點間距離的測度方式，只不過對象是平面上的兩點。

現在對象從點拉到機率分佈上。要描述兩種機率分佈的距離有多遠，差異有多大？我們一樣也可找出描述兩個機率分佈之間距離的測度，通常我們最常使用的是KL Measure。當然也有其它測度方式，但這裡不再繼續談下去。

有興趣的讀者可來信索取相關論文，但讀者只需知道：

老天有時很不公平：你可能出身是窮人，別人卻是富豪；你可能努力半天還是無名小足，別人靠金脈人脈卻早已掌權在位。

然而，在投資市場裡，老天卻很公平：只要你認知對、信仰正確，老天絕對會給你"相對應的報酬"，一點都不會虧待你。

從這觀點來看，天底下的確沒有白吃的午餐！

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投資跟人生很像，我們不用怨天尤人怪自己時運不濟，老天不眷顧。

老天最公平的就是提供大家一樣的投資市場。在這裡，誰認知正確，誰就是市場上的贏家！

你唯一要做的，就是不斷累積自己的實力，等待機會，逆轟高輝！