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三分鍾搞懂72法則,一次全破!


有在作長期投資金的朋友,應該都聽過72法則。牧清華也是接觸金融才瞭解到72法則的神奇之處。如果你還不瞭解72法則,請看以下簡單說明:

有一筆投資保證每年賺x%,且每年賺的錢再投入(複利計算),則多少年你的本金可以翻一倍?

假設是N年可以翻一倍,則N正確的計算應該是滿足 (1+x%)^N=2。

(說明:複利計算,每年變為本金乘上1+x%,共N年後變為2倍)

為了解N,這時你會兩邊取log,變成N*log(1+x%)=log2,所以N = (log2) / log(1+x%)。

然而,上面的式子沒按計算機,我想很少人可以靠著心算計算出來。72法則的神奇之處便在於,我們馬上可用心算計算出N的估計值。而且這估計值誤差還真小。


72法則的使用

簡單的說明72法則怎麼用? 假設有一筆投資每年可賺x%,則大約72/x年資產可以翻一倍。就是這麼簡單。

舉例來說,假設年報酬3%,那就是72/3=24年可以翻一倍。如果是年報酬6%,那就是72/6=12年可以翻一倍。

72法則估計出來的值跟實際到底有多接近,我們看下面的統計表。

橫軸分別是x% = 1%, 2%, 3%, ..., 40%。縱軸為資產翻一倍需要的時間(單位: 年)。藍色長條圖為根據72法則計算需要翻倍的時間,橘色長條圖為實際翻倍的時間。

可觀察到橘色長條圖與藍色長條圖的高度幾乎沒有誤差。由此說明用72法則估計確有其準確之處。


身為數學愛好者的牧清華,再次見證數學的偉大神奇之處,果然數學才是王道。於是上網找了一下72法則的證明,發現竟然沒有!! (可能大家都覺得太trivial)

有一個一直使用且方便神奇的公式,我竟然不知道該怎麼證,這對數學家來說是不允許的,於是我試著自己證看看。

七二法則的證明

我想可能大部份的人對證明沒什麼興趣。但沒辦法,牧清華很無聊,非追根究柢不可。我必須承認,就算懂了這證明,對交易一點幫助都沒有。所以沒興趣的讀者可以省略這一段沒關係。

我用到了一個小技巧。ln(1+x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 +... 當 |x|<1。(對x=0的泰勒展開)

一般來說,我們常用一個小技巧。當x很接近0的時候,把x當作 ln(1+x)的估計。

如果就把ln(1+x)當作x的話,原來要計算的N = (log2) / log(1+x%)可化簡為

N = (log2) / log(1+x%) = (ln2) / (x%) = 100(ln2)/x

100(ln2) 約等於69.3,所以72法則或許應該改成69法則才對。也就是用 69/x當作估計值。

但這真的會比72法則的72/x準嗎? 似乎也沒有唷!

下圖我把用69/x、70/x、71/x、72/x 與實際翻倍需要的年數的誤差全部計算出來。平均而言,神奇的72法則確實有其過人之處。


神奇吧,72法則跟其他數字相比,最不準的是當x=2%的時後,當x>5的時後, 也就是在5% ~ 40%時,72法則表現真是不錯哩!

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這篇對交易沒什麼幫助,純粹是一個愛好數學的人士想要寫點什麼咚咚證明一下。但還是希望大家會喜歡!!

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