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為何股價漲跌呈現對數常態分配?(理論篇)


股市漲跌"理論上"是無法預測的,但還是可以根據過去一些統計結果,一窺股市可能的波動。如果能從統計結果預知股價波動慣性,那小小的預知或許也能讓你大大的獲利。

本周我們介紹股市波動最基本的特性: 對數常態分配(Log-normal Distribution)。有接觸過財務工程的投資朋友可能都聽過這個名詞,因為...

教科書說,股市的漲跌幅,呈現對數常態分配。

這個觀察是奧斯本(Matthew Maury Osborne,1916~2003)發現的。然而,這個現象並不那麼直觀! 我們介紹如下:

從波動率談起

我們以大盤為例,從下面兩個例子的大盤指數漲跌談起。

問題1: 假設大盤現在9200點,則大盤明天漲100點的機率,跟明天跌100點的機率,"理論上"是否一樣?

問題2: 假設大盤現在8200點,則大盤明天漲100點的機率,是否跟問題1裡,大盤9200點漲100點的機率,"理論上"是否一樣?

第一個問題的答案,我想大部分的朋友都會說一樣。雖然有人認為大跌容易大漲難,但我們先就理論做探討。

然而,在問題2裡,雖然也是漲100點,但8200點漲100點的困難度就跟9200點漲100點的困難度不一樣了。

這就是股價漲跌不是呈現常態分配的原因。

舉例來說,如果大盤現在是10,000點,那漲100點很容易,大約才漲1%;

但如果大盤現在是5,000點,那漲100點相當於漲2%。漲2%相對漲1%來說,困難多了。

由上可知,一個較合理的推測是大盤的漲跌幅呈現常態分配 (較合理但不正確),而不是漲跌點數。漲跌幅多少跟大盤現在什麼價位無關。而漲跌幅的公式如下 (以日漲跌幅為例): 

今天大盤漲幅 =  今天大盤收盤(S_t) / 昨天大盤收盤價(S_t-1)

我們若用報酬率的敘述來看,假設日報酬率為r

今天大盤收盤價(S_t) = 昨天大盤收盤價(S_t-1) * (1+r)

若將這段時間(1日)分為 n 期,則上述式子變為


今天大盤收盤價(S_t) = 昨天大盤收盤價(S_t-1) * (1+r/n)^(n)

當分成無限多期時,即 n 趨近於無限大。上述式子變為

今天大盤收盤價(S_t) = 昨天大盤收盤價(S_t-1) * e^r

幸運的是,就是上面的參數r (俗稱報酬率),呈現常態分配。

而根據上試,r的推導為

r = log(S_t/S_t-1)

亦即在固定一段期間內(此例為1日),大盤的報酬率(return)在取對數(Log)後,呈現常態分配 (Normal Distribution)。而沒取log前,也就是報酬率 (=S_t/S_t-1)即為對數常態分配 (Log-normal Distribution)。

理論是這樣,實際是否如此?

上面介紹是理論的敘述與論證,我們當然很好奇實際狀況是否如此。下周我們把臺灣2001年~2013年的期貨歷史資料拿來回測,並且與實際的常態分配做比較。觀察理論與實務是否一致?

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