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那一年,畢氏定理告訴我們的投資學!?

畢氏定理是相當重要且基本的幾何定理,雖然冠上畢德哥拉斯的名字,事實上這個定理中國人更早發現,稱之為商高定理。

但你知道嗎? 這個國中生就會學到的幾何定理,跟資金管理也有很密切的關係。上次(link)我們提到算術平均報酬不適合用在衡量賭局(策略)的好壞,我們舉賭局A與賭局B為例。讓我們整理一些上次計算的數據如下:

賭局A: 勝率10%,賠率28。
算術平均報酬為1.9,凱利比例為 6.785%,幾何平均報酬為1.044177。

賭局B: 勝率70%,賠率1。
算術平均報酬為0.4,凱利比例為 40%,幾何平均報酬為1.085763。

何謂算術平均報酬!?

賭局A的算術平均報酬為10%*28+90%*(-1)=1.9。這意味著每賭1元,期望會變為1+1.9=2.9元。

而賭局B每賭1元,期望會變為1+0.4=1.4元。乍看之下賭局A怎麼可能輸給賭局B!?

但別忘了,賭局A允許你下注的金額比例(6.785%),遠比賭局B允許你下注的金額比例來的小(40%)

那你一定會問,既然賭局A那麼好賺,平均1元可翻將近三倍達到2.9元,為何每次下注不押大一點!?

很可惜,凱利告訴我們就是每次押6.785%,就是6.75%! 這是最適合的比例,押的比6.785%大,長期下來你平均報酬不會比較多,因為你沒考慮到很大的機率是會賠掉押的賭金。

算術平均報酬v.s.幾何平均報酬

那到底兩這的差異在哪呢? 注意到算術平均報酬,也就是傳統的期望值。

何謂期望值? 意思是說當你玩無限多次時,平均的報酬。注意到這裡的"無限多次",玩法是每次都下注1元。所以平均來講,每次可拿回2.9元(淨賺1.9元)。

而幾何平均計算的是,平均每玩一次,資產成長的幅度。這裡我們考慮的幾何平均報酬的下注方式是用凱利比例下注。隨著資金成長越大,凱利比例下注的金額也就越大,跟上述的算術平均報酬每次都下注1元相比,資產成長的速度自然就拉開!

畢氏定理的投資學

那有沒有什麼公式描述算術平均報酬與幾何平均報酬之間的關係呢!?

有的!這就是畢氏定理告訴我們的是投資學! 大家都知道畢氏定理的內容是在敘述直角三角形斜邊的平方等於兩股的平方和,又稱為商高定理、勾股定理

很神奇的是,"算數期望報酬"、"HPR標準差"、"幾何平均報酬"正是滿足畢氏定理的關係。Vince將其稱之為"交易基本方程式 (The Fundamental Equation for Trading)",如下左圖:

算術平均報酬^2 = (近似)幾何平均報酬^2 + 標準差^2



換句話說,如果標準差很小,幾何平均報酬也會跟算術平均報酬很接近。而對一個賭局來說,我們追求的是幾何平均報酬很大,而不是算術平均報酬很大。

幾何平均報酬^2 = 算術期望報酬^2 -  標準差^2

因此,一個好的系統,我們希望其算術平均數大,標準差小。再用Optima f的方式下注交易,這樣才有長期下來資產成長最快速(幾何平均報酬大)。

可惜的是,許多人往往沒認知到這件事,一昧地追求算術期望報酬很大的賭局,或是交易策略。運氣好的,遇到標準差很小,確實會穩定獲利;運氣差的,很自然隨著時間的累積,就淘汰在"很大HPR標準差"底下了。(俗稱"破產")

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挑戰1: 現在問題來了,如果我今天賭局A和賭局B就只玩一次,哪個賭局比較有利,該如何下注!?

挑戰2: 不知道是否有人要挑戰上述的"交易基本方程式"的證明!

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