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馬丁格爾(Martingale)的神蹟 -- 輪盤必勝玩法模擬!?

如果訪間流傳一種"必勝"的博弈玩法,大概就是馬丁格爾(Martingale)了。這個神奇的賭博方式向你保證絕對不會輸,想必許多賭徒都有討論過。不止賭徒,在交易上,也有一部份粉絲鍾情於這種玩法。

本篇我們實際模擬輪盤賭局,驗證一下Martingale是否真是如此神奇。在介紹Martingale之前,我們先介紹輪盤的基本玩法:賭大小、紅黑、奇偶。

舉歐式輪盤為例,共有0, 1, 2, 3, ..., 34, 35, 36,共37個數字。0是綠色(如首圖所示);從1開始到36,紅黑與奇偶相間;1~18是小,19~36是大。

因此,賭大小、紅黑、奇偶的的勝率為18/37=48.64865%,賠率為1。賠率為1的意思是押1枚籌碼,贏了可以淨賺1枚,也就是拿回2枚 (含原先押的1枚)。

馬丁格爾(Martingale)必勝策略

策略:從1枚籌碼開始下注。贏了繼續投注1枚,輸了加倍籌碼下注。

如果贏,那很好,可以穩穩淨賺1枚籌碼,且下次繼續投注押1枚。

如果輸,則加倍輸掉的籌碼,下注。例如這次輸掉8枚籌碼,下次就押16枚籌碼。

舉例來說,如果第1次輸,輸掉一枚籌碼,加倍下注後就押2枚籌碼。贏的話可淨贏得2枚籌碼(也就是共拿回4枚),不僅把之前輸掉的1枚籌碼也贏回來,還倒贏1枚籌碼。

如果連輸2次,下次加倍下注,也就是押 4枚籌碼。贏的話可贏得4枚籌碼(拿回8枚),把之前輸掉的1+2(=3)枚籌碼也贏回來,還倒贏1枚籌碼。

如果連輸3次,下次加倍下注,共8枚籌碼。贏的話可贏得8枚籌碼(收回16枚),把之前輸掉的1+2+4(=7)枚籌碼也贏回來,還倒贏1枚籌碼。
...

如果連輸n次,下次加倍下注,共2^n枚籌碼。贏的話可贏得2^n枚籌碼(收回2*2^n枚),把之前輸掉的1+2+4+...+2^(n-1) (=(2^n)-1)枚籌碼也贏回來,還倒贏1枚籌碼。

如此推論下來,遇到連輸,只要撐到贏的那一次,便可把過去所有輸的籌碼一次贏回來。必勝,這就是聖盃,你認同嗎?

網路上找的到許多馬丁格爾損益的理論分析。牧清華實在懶得計算,於是實際跑實驗模擬一下。反正就是勝率18/37=48.64865%,賠率為1的賭局,不難實作。

我們假設有100枚籌碼,最多玩1000次就離場。為了避免輸光,一旦籌碼數少於下次該押的籌碼數就離場。舉例來說,目前籌碼數為51枚,遇到連輸6次,根據Martingale應該要押2^6=64枚,但因為手上只有51枚,於是我們選擇離場退場。(也就是輸了了49枚籌碼,離場賭場)

下圖是某一次模擬的結果,最後為604枚籌碼(淨賺504枚),玩1000次後還活著,安全離場。


其中發生最危險的當屬圖中最長的那段下殺(最後那根)。那是曾經連續輸七次,也就是遭遇了-1, -2, -4, -8, -16, -32, -64, -128 的虧損,幸運的是在第九次下注256枚籌碼,贏了! 且把過去累計七次的虧損一次贏回來,還倒贏1枚。

然而,並非所有的Martingale玩法都這麼幸運,能撐到第1000次安全離場。很多情況是像下面這樣,玩不到1000次。以下圖為例,在玩到第439次時,開始發生連續虧損  -1, -2, -4, -8, -16, -32, -64, -128連續七次的虧損,使得籌碼個數只剩下66枚,無法在壓下一次的加倍下注256枚,因此被迫離場。


上述的結局還好,至少撐了400多回合。下圖的情境,在第53次的時候開始發生連續虧損: -1, -2, -4, -8, -16, -32 共六次,這六次虧損的結果,就讓籌碼只剩下60枚,無法再下注壓加倍的比例64枚,因而提早被迫離場。


我們因此好奇一個問題。100枚籌碼,用Martingale方式玩,能在1000次後安全離場(賺錢)的機會有多少!?

根據我們模擬100,000次的結果,約4.24%的機率能夠安全過關。換句話說,有95.76%是會提早在1000次前出局結束的! 詳細分佈圖如下:


這100,000次模擬,數據如下:

在100次內離場的有50319次(50.32%);
在101~200次離場的有18849次(18.85%);
在201~300次離場的有11407次(11.41%);
在301~400次離場的有4674次(4.67%);
在401~500次離場的有3133次(3.13%);
在501~600次離場的有2436次(2.44%);
在601~700次離場的有2023次(2.02%);
在701~800次離場的有1569次(1.57%);
在801~900次離場的有807次(0.81%);
在901~999次離場的有547次 (0.55%);

重點是,滿1000次後獲利離場的有4236次,只有小小的4.24%的機會。看來輪盤使用martingale的下注方式,並不那麼可行。

稍稍提高勝率會如何!?

如果我們將勝率從18/37提高到19/37,那實驗結果會大不同!

根據我們模擬100,000次的結果,約11.49%會安全過關,也就是在1000次結束後是確實獲利的。換句話說,有88.51%是會提早賠錢出局! 詳細分佈圖如下:


這100,000次模擬,實際的統計如下

在100次內離場的有39758次(39.75%);
在101~200次離場的有17495次(17.49%);
在201~300次離場的有11914次(11.91%);
在301~400次離場的有4995次(4.99%);
在401~500次離場的有3932次(3.93%);
在501~600次離場的有3235次(3.23%);
在601~700次離場的有2845次(2.84%);
在701~800次離場的有2267次(2.26%);
在801~900次離場的有1117次(1.17%);
在901~999次離場的有949次 (0.95%);

滿1000次後獲利離場的有11493次(11.49%)

想看看,不過從18/37的勝率提高到19/37,安全離場的機率就從4.24%提高到11.49%,整整提高了將近3倍。

籌碼加倍會如何!?

除了提高勝率外,我們也可將初始籌碼加倍,從200枚開始賭,在19/37的勝率下,損益分布如下:


這100,000次模擬,實際的統計如下

在100次內離場的有27480次(27.8%);
在101~200次離場的有12019次(12.02%);
在201~300次離場的有9154次(9.15%);
在301~400次離場的有7661次(7.61%);
在401~500次離場的有6619次(6.62%);
在501~600次離場的有5284次(5.28%);
在601~700次離場的有2723次(2.72%);
在701~800次離場的有2150次(2.15%);
在801~900次離場的有2032次(2.03%);
在901~999次離場的有1864次 (1.86%);
滿1000次後獲利離場的有23014次(23.01%)

賺錢離場(滿1000次)的機率幾乎是100枚籌碼的整整兩倍。由此可以知道籌碼多寡與與賺錢離場的比例,幾乎是呈正比!

由上述兩個範例可知,要增加賺錢離場的機率,勝率似乎比籌碼來的更具有影響力!

馬丁格爾變形: 連輸三次就停損--重新開始!

探究馬丁格爾最後失敗的原因,就是當連損次數到來,我們無法承受倍數壓住的鉅額虧損。為了此點,我們改良馬丁格爾。舉例來說,為了避免連輸的鉅額損失,我們設定在連輸三次後,就不再加倍下注,依然從1枚籌碼開始。

下面是某一次賺錢的模擬,很辛苦地撐到第1000局後,淨獲利50枚籌碼(拿回150枚)。



下圖是某一次虧損的例子,在經歷了1000次賭局後,最後淨虧損19枚籌碼(拿回81枚)


當然,也有撐不到1000場賭局的情況,如下圖。在玩到第346次的時候,籌碼只剩下3枚,可是已經連輸三次,無法在下第三次的4枚籌碼,因此被迫離場。


從上面幾個模擬例圖來看,馬丁格爾停損玩法似乎沒有明顯的圖形特徵。可能一路就連續虧損到結束,也可能上上下下到最後獲利離場。不像傳統馬丁格爾策略,一路穩定向上,雖然偶爾遇到地震鴻溝,但只要撐到贏的那一次,就全部回來。

馬丁格爾不怕鴻溝,只怕遇到大地震,一次全毀! 這樣的豪賭式的風險管控,似乎不是正確的交易之道。

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在交易上,勝率不固定,賠率不固定,是否能把Martingale套用上去!? 

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