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你以為投資多商品、多市場、多策略就是在分散風險嗎?


隨著資訊科技進步,全球化交易越來越方便。許多人喜歡把資金放在不同市場、商品、甚至多個策略,希望達到分散分險的目的。但如果你只注意到要分散資金,而沒注意到商品或市場之間彼此的相關性,那你可能會不自覺陷入極大的風險而不自知,下面我們用銅板賭局說明:

假設賭局A的10次輸贏為1,1,0,0,1,0,1,1,0,0。(1代表贏,0代表輸)。可以觀察到這10次的勝率為50%,若賭局A的賠率是2,根據凱利法則,每次下注為總資金比例的25%,可以讓資金成長最大化,10次下來的資產成長 1.802032 (淨賺80.02%),損益曲線如下圖所示:


假設今天有另一場賭局B,10次輸贏為0,1,0,0,1,0,1,1,0,1,勝率亦為50%。則一樣根據凱利法則,最佳下注比例為25%,其資產最後也是達到 1.802032 (淨賺80.02%)的規模,如下圖所示:


投資單一賭局,不論是賭局A或是賭局B,雖然輸贏順序不同,但勝率賠率都是一樣,所以最佳下注比例就是25%,最後的確也同時達到最大的資金成長1.802032 (淨賺80.02%)

可是如果現在有機會同時玩賭局A跟賭局B,情況就不一樣了,25%就不會是分別下注的最佳比例。這個其實就是之前介紹過的槓桿空間模型(Leverage Space Model),有興趣的讀者可回去參考以前寫過的文章。根據最大化資金成長A(f)的公式

A(f)=[(1+4f)^(10/4)]*[(1+f)^(10/4)]*[(1+f)^(10/4)]*[(1-2f)^(10/4)

勝率50%,賠率為2的兩場賭局最佳下注比例應該為23%。可是我們上述賭局A與賭局B跑出的實驗結果,如果用23%的資金下注,資產成長僅為 1.7481962 (淨賺74.81%,下圖紅線),還不如只玩單一賭局A或賭局B的 1.802032 (淨賺80.02%,下圖藍線或綠線)




這是怎麼回事? 到底賭局A+賭局B的最佳下注比例為何呢? 我們將所有的下注比例的資產成長計算出來,發現竟然是16%的時候達到最佳下注比例,資產成長為2.081263 (淨賺108%)。


而用16%下注賭局A+賭局B的資產成長如下圖(紅線),也確實擊敗單一賭局A或賭局B。(註:"最佳下注比例16%" 是指賭局A和賭局B分別押16%的資金比例,也就是一共壓了總資金的32%。)


難道是槓桿空間模型錯了嗎? 當然不是,這關鍵在上述賭局A跟賭局B的10筆輸贏是"有相關性的",有沒有發現賭局A跟賭局B只有頭跟尾的輸贏相反,其他都一樣。其相關係數高達0.6。

還記得當初在計算槓桿空間模型裡的最佳化問題,我們是假設兩場"獨立"的賭局去計算,也就是賭局A與賭局B的輸贏是沒有相關性的,其相關係數是0。

當相關係數越高的時候,就代表兩場賭局越"像",幾乎可以視為是同一場賭局,既然是同一場賭局,你便不能投入過多的資金比例。

現在我們來看相關係數為0.2的賭局A與賭局B,一樣都是勝率50%,輸贏如下:

賭局A:1,1,0,0,1,0,1,1,0,0;賭局B:0,0,1,0,1,0,1,1,0,1

其最佳下注比例為20%,更接近獨立兩場賭局的最佳下注比例23%了。資產成長為2.61 (淨賺161%)


在相關係數為0.2的條件下,分別比較最佳下注比例的資金成長曲線如下:


如果相關係數是負的,例如賭局A輸贏為1,1,0,0,1,0,1,1,0,0,賭局B輸贏為0,1,0,1,0,1,0,0,1,1,其相關係數為-0.6,則最佳下注比例為37%,資產成長為8.001835 (淨賺700%)。

在相關係數為-0.6的條件下,分別比較最佳下注比例的資金成長曲線如下:


現在你是否發現,如果可以找到兩場相關係數為負的賭局,那資產成長速度才是可以大大的放大。如果賭局A輸贏與賭局B輸贏完全相反如下:

賭局A:1,1,0,0,1,0,1,1,0,0;賭局B: 0,0,1,1,0,1,0,0,1,1

相關係數為-1,則其最佳下注比例為50% (也就是A跟B個押50%,全押),其資產成長為 57.66 (淨賺56.66倍)

在相關係數為-1的條件下,賭局A與賭局B的勝率雖然只有50%,但最佳下注比例後的結果,A+B的資金成長遠遠高於單獨賭一場A或B達56倍,如下圖所示:


許多人往往把資金分散在多個策略、商品、市場。然而,大部分人都單獨看待每筆資金放在每個策略的損益,單獨的再去做作最佳化風險比例。正如下面兩個策略,其損益的相關係數高達0.79,雖然策略不同,但幾乎可以視為就像是同一個策略,但是用"同一筆資金同時間做了2次"。


分別計算策略1與策略2的最佳風險比例為7.4%與8.8%,如果真的策略1與策略2用最佳風險比例單獨去做,那相當於每次交易這兩個策略用了風險比例16.2% (=7.4%+8.8%)。


但策略1與策略2又如此的相像,就像是一個策略一樣。 反過來想,一個策略用了16.2%當作風險比例,這是否才是交易上最大的風險!?? 希望這篇能帶給多市場多商品多策略的投資朋友一些思考啟發~

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