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現代投資組合理論(MPT)與槓桿空間模型(LSM)孰優孰劣?


現代投資組合理論(Modern Portfolio Theory, MPT)在1954年由Markowitz提出,已歷經64年也為Markowitz贏得諾貝爾經濟學獎;槓桿空間模型(Leverage Space Model, LSM)由Ralph Vince 1992年提出,晚了將近40年。這兩套模型都是在講投資組合,但好像很少人把這兩套模型放在一起討論,似乎完全搭不上邊。阿不都是投資組合嗎? 最近仔細研究一下,其實是一開始假設就不一樣,訴求目標也不一樣。

雖是講投資組合多商品,我們還是從單一商品要用多少資金配置問題談起。今天假設有檔股票,其三期報酬率分別為 (20%, 30%, -10%)。

如果今天你有100萬資金,你100%投入,則你的資產變化為
100萬  => 120萬 => 156萬 => 140.4萬
報酬率為40.4%,資金變化標準差為 24.36%

如果你80%投入,20%留現金,則你的資產變化分為兩部分
第一部分為80萬 => 96萬 => 124.8萬 => 112.32萬
第二部分現金則始終為20萬 ,於是總資金變化為
100萬 =>116萬 => 144.8萬 => 132.32萬
報酬率為32.32%,資金變化標準差為 19.49178%

….依此類推

如果你10%投入,則你的資產變化
第一部分為10萬 => 12萬 => 15.6萬 => 14.04萬
第二部分現金始終為90萬,總資金變化為
100萬 => 102萬 => 105.6萬 => 104.04萬
報酬率為4.04%,資金變化標準差為 2.436%

做個通式整理,假設我們要投入的資金比例為f1,則我們要最佳化的公式為

(1-f1)+f1*(1+20%)(1+30%)(1-10%)

我們當然希望上面的值越大越好,但我們又希望資金變動的標準差越小越好,上述是一個資產搭配保留現金。如果今天考慮多個資產,以兩個資產為例。假設另一商品三期的報酬為 (10%, -20%, 20%),且分配資金為f2=1-f1,則我們要最佳化式子為

f1*(1+20%)(1+30%)(1-10%)+f2*(1+10%)(1-20%)(1+20%)

事實上我們只需知道期望報酬、報酬標準差、商品與商品間報酬相關係數,即可計算出最佳資金配置。而這裡所謂的 "最佳資金配置",並不是賺最多,而是報酬與風險上"你認為的最佳平衡"。上述通式便可導出現代投資組合理論的效率前緣曲線(efficient frontier)。這條曲線告訴我們欲追求越大報酬,勢必承擔越大風險,兩者必為正相關。注意到這裡的風險當然是指著"標準差"。在給定的風險下,如何配置資金追求最大的期望報酬;或是在給定的期望報酬下,如何配置資金控制住最小的風險(標準差)。

現代投資組合理論有點後見之明的最佳化。嚴格來說你要選定週期,知道每一樣商品的在這週期下的期望報酬,報酬變異數、商品與商品之間報酬的相關係數,你才能去計算 "你認為的最佳配置"。再來我們來看1992年提出來的槓桿空間模型。

槓桿空間模型是基於凱利法則延伸的最佳化比例(Optimal Fraction)。與現代投資組合理論最大的不同是,我們不是假設知道商品的期望報酬、標準差、以及彼此的相關係數,而是假設知道商品在這一期的漲跌分佈。這個條件要比現代投資組合理論要求的更多,畢竟知道漲跌分佈,便可知道期望報酬與標準差。想當然爾,在知道更多"資訊"的情況下,我們當然可以做更powerful的事!

繼續上面例子,原本假設 (20%, 30%, -10%)三期的報酬,現在視為損益分佈。則我們最佳化的是

(1+20%*f1) * (1+30%*f1) * (1-10%*f1)

我們欲將上面式子最大化。換句話說,在怎樣的資金比例下會賺最多,凱利沒有考慮到所謂的資金波動,而是考慮長期下來(若可以玩無限多次)資金成長最快。

類似的如果今天考慮兩檔商品,假設另一檔商品損益分佈為 (10%, -20%, 20%),則槓桿空間模型列式為

(1+20%*f1+10%*f2) * (1+30%*f1-20%*f2) * (1-10%*f1+20%*f2)

除此之外,凱利討論的是再投資(Re-investment),也就是每一期是根據當期的資金量乘上配置的資金比例下去投資。而MPT是一開始就將資金比例分配好,每一次輸贏後不會再做任何在分配資金的動作,這是現代投資組合理論很大的不同。

實務上你覺得哪種方式比較適合? 兩者相同之處都是需要做某些預測。現代投資組合理論預測的是一段時間內的報酬率、標準差、相關係數,且拿標準差當風險,最佳化的結果是效率前緣曲線。而槓桿空間模型預設的是每一期的漲跌分佈,最佳化的結果是資金成長最有效率。

問題的假設不同,使用得資訊量不同罷了,沒有誰對誰錯,端看需要如何使用!

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