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21點擊敗莊家的數學原理

21點是所有賭場遊戲中,唯一有機會擊敗莊家賺到錢的遊戲。Thorp在1962年提出21點的算牌技巧,證明只要按照『某種規則』下注,21點賭局的期望獲利會變為正。本文我們當然不是要探討該如何玩21點 (有興趣的可以google) ? 我們想要探討的問題:既然這是個會讓賭場賠錢的遊戲,為何21點仍在各大賭場屹立不搖? 我更好奇的是21點擊敗莊家的數學原理。

為何21點有利可圖?

21點說穿了就是玩家與莊家比大小的遊戲。當然前提是不超過21點,超過21點即為爆牌,直接判輸。玩家拿到最初的兩張牌後,可以選擇繼續拿牌(Hit)或是停牌(Stand),在某些條件下可以選擇加倍下注(Double),或是分牌(Split)。換句話說玩家的選擇只有四種(Hit、Stand、Double、Split),有些賭場規則還增加了保險(Insurance)跟投降(Surrender),本文先不考慮。因此,除了停牌以外,其餘三種都必須再加籌碼下去。而莊家在玩家結束後才開始補牌,必須一直補到17點以上方能停。Thorp於是根據各種可能的牌型分析較有利機率的打法。舉例來說,莊家拿到7點,玩家拿到16點,玩家該Hit還是Stand? 許多人會直覺玩家再補牌容易爆牌,然而這裡卻是玩家要繼續補牌較為有利。Thorp以贏的機率計算出所謂21點的【標準打法】。當然,不同21點的規則有不同的標準打法,當然這也有人整理好了,有興趣的讀者可查閱
blackjackinfo.com所提供的 Blackjack Basic Strategy Engine

然而,玩家背熟標準打法就萬無一失嗎? 錯! 基本上標準打法只是對賭客”最有利”的打法而已。最有利當然不代表會賺,因為整體期望值還是負的。一般來說,以標準打法玩21點,期望值大約-0.5%左右,也就是說每打1000元,大概還會輸5塊錢。雖然這已經是賭場裡大部分遊戲裡輸最少的,但畢竟負期望值的遊戲打越多還是輸越多。那到底如何變成正期望值呢?

我想沒有人會不同意賭局是機率(勝率)與賠率(賺賠比)的遊戲,要分辨一場賭局是否有利可圖? 最簡單的方式就是計算期望值。以21點賭局來說,賠率大部分皆為1,有就是說你壓住多少賭金,如果贏了可以賺得一倍;如果輸了,那壓下去的賭金就賠光。舉例來說,我賭100元,將100元籌碼放在賭桌上,如果贏了我就淨賺100元 (也就是拿回200元)。如果輸了,壓在賭桌上的100元就由莊家收走。

而按照21點標準打法計算的期望值,是假設每一次押的賭金都是一樣。如果我們能對所有牌型分辨出什麼時候對玩家有利,什麼時候對玩家不利,然後再對玩家有利的時候下比較大柱,那便有可能改變長期下來的期望值。

舉例來說,若將21點賭局分成A與B兩種情況。若A條件出現,贏牌的機會有51%;若B條件出現,贏的機會只剩48%。因為賠率都是1,且假設A與B出現的機率分別為40%60%,每次下注1元,計算期望獲利的方式為

A期望獲利:0.51*1 + 0.49*-1 = 0.02 (有利可圖)
B期望獲利:0.46*1 + 0.54*-1 = -0.08 (無利可圖)
整體期望獲利(A與B):40%*0.02 + 60%*(-0.08) = -0.04 < 0 (負的,無利可圖)

但如果我們考慮部位大小,在A情況改下注8元,B情況維持基本下注1元,則期望獲利變為:

A期望獲利:0.51*8+0.49*-8 = 0.16 (有利可圖)
B期望獲利:0.46*1+0.54*-1 = -0.08 (無利可圖)
整體期望獲利(A與B):40%*0.16+60%*(-0.08) = 0.016 > 0 (正的,有利可圖)

至於這個A情況跟B情況是什麼呢? Thorp便是針對這點進行設計。舉例來說,如果前面幾位玩家手上拿到的小牌居多,則此結果對玩家較有利。因為留在牌盒內較有可能是大牌,這使得莊家補牌到17點的過程中容易爆牌,因此玩家勝率提高;反過來,若是前面已出現的大牌較多,則對玩家不利,因為莊家較不易爆牌,就有可能贏了玩家。

一般來說,我們設定 2,3,4,5,6為小牌,計為 -1點。7,8,9為中性牌,計為0點。10,J,K,Q,A為大牌,計為+1點。此即為大部分玩家最常用的Hi-Lo算牌法,藉著已出現點數的計算,我們可知目前情況是屬於A或B哪一種,進而決定下注資金該保守還是該積極?

賭徒聖杯:Kelly Criterion

利用不同優勢大小的變化,一場賭局於是被分為【有利可圖】的情況與【無利可圖】的情況。根據上面例子,既然將有利可圖的賭金放大可以調整遊戲變成正期望值,那我們何不在有利可圖的情況下注多一點呢? 這是很直覺的反應,可惜是個誤導。 John Larry Kelly, Jr. 1956年在Bell System Technical Journal上發表了針對有利可圖賭局的最佳賭法,這便是著名的Kelly Criterion。一場賭局給定勝率(p) 與賠率(b) ,可惟一決定最佳下注比例(f*)使得整體資產成長最快速。傳統Kelly formula計算出來的最佳下注比例為 f* = (p*(1+b)-1)/b。而21點賭局裡大部分的賠率可以用b = 1表示 (先不考慮BJ出現2賠3,賠率算為1.5的情況),則

f* = (p*(1+1)-1)/1 = 2p-1 = p-q。

這便是我們常在21點文章裡看到的下注公式:贏的機率減去輸的機率。因此,當我們將勝率提高到p = 51%,根據Kelly formula可知最佳下注比例為 p-q = 2%;當我們提高勝率到p = 52%,最佳下注比例為 p-q = 4%。當我們遇到有機會Double時,肯定是出現的牌型勝率大大提高,且上述比例亦變為2倍。利用基本策略,打出最有利可圖的打法,再利用Kelly formula計算最佳下注比例,這便是21點擊敗莊家背後的數學原理。

原來21點沒有那麼好賺

當然,我們可以做簡單的模擬,(註:實際21點模擬較為複雜,這裡不加論述),為了方便假設就是勝率51%或是勝率52%,賠率為1的賭局,你會發現21點其實沒那麼好賺。

下面兩張圖分別為勝率51%(左圖) 與52%(右圖),賠率為1的遊戲玩100局,我們重複模擬100次的累計報酬。可以觀察到勝率51%的獲利大約2成以內,但仍然有不少機會虧損2成。勝率52%的大約是獲利2倍以內,但因為下注金額較大,甚至有機會賠掉5成本金。

 多久能夠達到獲利目標?

假如我預計要賺2倍資金才離場,21點大約要玩多少局呢? 關於這個問題。Thorp也給了詳細的研究。有興趣的讀者可參考下面這篇


總結來說,風險與利潤還是相對的,遇到本金賠個20%、50%甚至輸光光也是常有的事,這是機率下的必然,沒有人可以打敗機率。換句話說,想當21點職業賭客,除了技術要練純熟,算牌跟呼吸一樣自然,還必須忍人所不忍。想要"穩定獲利賺大錢"還是得靠點運氣,畢竟天底下沒有白吃的午餐,天天打牌8~12小時,一年365天有300天都在打牌,這或許就是職業賭客的日常。如果再遇到鉅額虧損,心態該如何調適如何自處? 或許才是職業玩家能否生存下去的關鍵所在! 而為何賭場依然有21點遊戲,除了大部分賭客還是不會算牌外,部分賭客在虧損下失去理智,下大注想要一次駁回來,結果往往可想而知,這也便是賭場21點的利潤所在!

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