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賭徒謬誤: 大數法則 v.s. 小數法則


本週我們介紹Tharp的第8個偏見(Ch5):小數法則 (The Law of Small Numbers)

賭一個公正的硬幣,人頭跟數字出現的機率各半,也就是50%。在此之前,已經連續出現10次人頭,你認為下次擲硬幣(第11次)出現的會是人頭還是數字?

有學過國中數學的應該知道,第11次出現人頭跟數字的機率還是為50%,並不會因為前面已經連續出現過10次人頭,第11次出現數字的機會就會大一些 (>50%)。

但很好玩的是,如果讓賭客下第11次的注,大部份人還是會選擇壓數字 (包刮牧清華自己)。即使他們知道第11次出現數字的機率還是只有50%。

這是很有趣的現象,我們稱為賭徒謬誤(Gambler's Fallacy)。



之所以稱為謬誤,是因為有些賭徒認為第11次較有可能出現數字。理由是前面出現的人頭實在太多了,該均衡一下。

理論上,如果真是一枚公正的硬幣,前面出現幾次的人頭或數字,與下一次擲硬幣會出現人頭還是數字無關,也就是其機率是獨立的。我們可以用下面的表示法:

1/2 = Prob.[第一次出現人頭] = Prob.[第二次出現人頭 | 第二次出現人頭] 
= ... = Prob.[第n次出現人頭 | 不管前面幾次發生什麼事]

為什麼正常人都會有這種心理反應?因為大家熟悉的人頭數字出現的機率各為50%,意思是

如果擲硬幣10次,理論上人頭要出現5次,數字要出現5次。
如果擲硬幣100次,理論上人頭要出現50次,數字要出現50次。
如果擲硬幣1000次,理論上人頭要出現500次,數字要出現500次。
...
如果擲硬幣n次,理論上人頭要出現n/2次,數字要出現n/2次。

注意到上面都是"理論上",而實際情形是如何呢?

當你擲硬幣10次,實際上人頭出現4次,數字出現6次。
當你擲硬幣100次,實際上人頭出現47次,數字出現53次。
當你擲硬幣1000次,實際上人頭要現505次,數字出現495次。
...
如果擲硬幣n次,實際上人頭出現比例為50%+,數字出現比例為50%-

你會發現"實際上"怎麼跟"理論上"都不一樣? 實際上總是與理論上有∆的誤差。

這個誤差,總是如影隨形的存在,我們無法控制,只能去揣測∆的行為。

例如,有一個行為是肯定的。那就是隨著實驗次數越多,人頭跟數字出現的比例越接近50%。

當你擲硬幣10次,可能實際上人頭出現4次,人頭出現比例占了40%,∆=-10%。
當你擲硬幣100次,可能實際上人頭出現47次。人頭出現比例占了47%,∆=-3%。
當你擲硬幣1000次,可能實際上人頭出現505次。人頭出現比例占了50.5%,∆=0.5%。
...

發現什麼事?當實驗次數越多,人頭出現的比例有沒有越接近50%? ∆有沒有越接近0。


當你擲硬幣n次,n趨近於無限大(∞),則∆會趨近於0。

賭徒謬誤 (Gambler's Fallacy)

這時如果你是"正常人",你很自然會有一種奇怪的思維。

如果前面已經出現過好幾次人頭,使得人頭出現的次數佔過去比例離50%很遠,你會不會認為下次出現數字的機會大些?

大部份人都說不會(有學過機率),但心理上都覺得應該要會,理由是

因為下次出現數字,才會使得這個離50%很遠的比例,稍微回來接近50%。

然而,這些都是錯覺!下次擲硬幣,人頭數字出現的機率,還是各為50%。

Amos TverskyDaniel Kahneman對賭徒謬誤的結論:小數法則(Law of small numbers)。

大數法則 v.s. 小數法則

做統計預測的人,最喜歡講大數法則。顧名思義大數法則就是次數要很多,要多少?最好是無限多,跟韓信要兵一樣,多多益善。

我們平常說機率多少,是用大數法則的角度去說機率這件事。也就是當無限多次試驗後,實際情形(發生比例)會跟機率一樣。或著說,次數越多越,比例越接近機率。

只是大大部份人往往會忽略這件事。

更慘的是,就算次數真的夠多,假設10,000次好了,還是不能決定10,001次到底是出現人頭還是數字,因為機率還是各為50%。

對賭徒來說,他們往往會把過去十次當做夠多,過去百次當做夠多,當發現比例偏離時,就認為再來可能會出現另一個方向的結果。

事實上每次擲硬幣都是一個獨立事件。也就是每次擲硬幣跟前面發生什麼事是無關的。

但是即使無關,大數法則就是會讓整體事件發生的比例,跟理論上的機率吻合。

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大數法則也告訴你,我們預測未來長期的趨勢,可能比預測明天會怎麼走,容易的多。

就像我可以預測擲硬幣一萬次,約有五千次會出現人頭,實際情形與五千不會差太多。

可是我們無法預測擲硬幣兩次,這兩次會出現什麼?很高的機率預測會與實際的完全相反。

若是上面這句話你同意,那做波段單會比做當沖容易賺錢嗎?

這個具有爭議的問題,牧清華也不知道,或著說因人而異。

交易是個人行為,還有太多個人的因素,包括交易風格...等。

變數太多,使得有些人適合作當沖單,有些人適合作波段單。

這麼官方的答案,也許就是標準答案吧!

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