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選擇權必修學分(二):價差下的凱利賭徒



本文摘要:許多人沉迷賭博一輩子,但直到破產那天,還不知道自己為什麼輸光?本篇介紹凱利公式(Kelly Formula),定義何謂小賭徒、凱利賭徒、大賭徒,最後論述凱利賭徒如何在選擇權價差交易上獲利?  

接續上篇我們介紹過何謂有利賭局?具有正期望報酬的賭局我們稱為有利賭局。遇到有利賭局時,就是值得進場的時間點。現在問題來了,進場後要如何下注?

舉例來說:擲一枚錢幣,人頭與數字出現的機率各為50%,人頭出現所壓賭金全部輸光,故賠率為-1;數字出現所壓賭金翻為2.5倍(i.e.淨賺1.5倍),故賠率為1.5。我們將此賭局用圖1去呈現。
機率賠率、有利賭局、Favorable Game
圖1: 有利賭局  (獲利期望值為0.25)
簡單的計算可知此賭局的獲利期望值為0.25,意思就是平均每賭1元,可以淨賺0.25元,25%的報酬率,可說是非常的好。然而,假設今天你有1000塊錢,可以玩這個有利賭局無限多次,你該如何下注?

你是要每一把都把手上的現金全壓呢(100%)?還是每一把都壓資金的一半(50%)?或是更保守一點,每一把只壓資金的10%?

重點來了!到底在有利賭局下,每一步要壓多少比例的資金,才可讓資產成長最快?凱利公式提供了解答。

我們假設p為獲利事件發生(即數字出現)的機率,b為獲利事件發生的賠率,以圖1的例子來說,p是50%(數字出現的機率),b為1.5(數字出現的賠率)。凱利公式告訴我們,押注資金的最佳比例為


注意到這裡所謂的最佳比例,指的是可以讓你資產成長最快速度的下注方式。也就是在此有利賭局(圖1)下,每次都壓資金的1/6 (or 16.66%),您的資產會成長最快。

舉例來說:今天有三號人物:小賭徒、凱利賭徒、大賭徒。三個都有1000元現金,可玩此賭局100次。小賭徒比較保守,每次都壓手上現金的5%,凱利賭徒根據凱利公式計算,每次都壓手上現金的16.66%。而大賭徒最勇敢,每次都壓手上現金的一半(50%)。則玩100次後,我們可以合理預期,凱利賭徒的資產會最多,勝於小賭徒,而大賭徒可能玩不到一百次就接近破產,救不回來了。當然,我們可以實際跑Excel去模擬這樣的賭局,圖2為其中一次模擬的曲線圖。
大賭徒、小賭徒、凱利賭徒
圖2:三類賭徒玩圖1賭局,模擬100次後的結果。

我們在回到凱利公式,觀察凱利公式的分子,其代表的意義為每一塊錢的"期望淨利" (說明:有p的機率會贏,贏的話可拿回1+b元,再扣掉成本1元,故期望淨利為 p(1+b)-1)。

p為100%時,凱利公式的值亦為100%,也就是手上有多少現金就壓多少現金。這很自然,若您遇到一場百分百必勝的賭局,當然是把手上所有的錢全壓下去,甚至不惜借錢壓 。(ps: 雖不鼓勵借錢,但這裡的前提是"百分百必勝")

相反的,當凱利公式的分子等於0,或是小於0時,其建議我們不要壓下任何資金,這是場不值得玩的賭局。聰明的讀者這時可能會有所頓悟,凱利公式分子所代表的意義,期望淨利為正(>0),正是有利賭局的充分條件。

這裡我們做個小結。另外關於凱利公式的原始論文,我們可追溯到1956年所發表的報告(參考文獻)。

1. 小賭徒壓的資金比例小於凱利公式所建議,因為是有利賭局,所以還是會賺錢,只是賺得不夠快,慢慢的賺。

2. 凱利賭徒根據凱利公式計算,用最適當的資金比例下注,資產成長最快。

3. 大賭徒壓的資金比例大於凱利公式所建議,即使是有利賭局,長期玩下去,破產輸光是遲早的事。

選擇權價差與凱利賭徒

凱利公式如何用在選擇權價差上呢? 我們看下面這張多頭價差的損益圖,當大盤結算在7950點以下,最多就賠1750元;當大盤結算在8000點以上,最多就淨賺750元。而介在7950~8000點之間,我們暫且視為灰色地帶,平均賠500元。若不論中間的灰色地帶,左邊藍色的賠錢跟右邊綠色的賺錢,是不是跟圖1右邊的賠率圖很像呢?(若壓1元賭注,人頭出現最多賠1元;數字出現最多淨賺1.5元)。

選擇權多頭價差損益圖
圖3:選擇權多頭價差損益圖(7950以下賠1750元;8000以上淨賺750元)

注意到,與傳統賭局不同之處是在事件發生的機率分佈。一般傳統賭局對於可能會發生的事件,是"確定"的機率分佈。然而大盤結算在哪個位置,是沒有人敢保證或是宣稱其所認定的機率分佈是正確的。每個人都有自己主觀認為的機率分佈。以下列圖4為例:
選擇權多頭價差機率分佈
圖4:個人認知上的選擇權多頭價差的機率分佈
圖4除了7950~8000點的灰色地帶以外,是不是跟圖1的左半邊機率圖很像?(1的人頭出現相當於圖4的結算在7950以下,機率為30%;圖1的數字出現機率相當於圖4結算在8000點以上,機率為60%)

因此,當您對自己認為的機率分佈很有信心時,你該怎麼下注?建議可多想想凱利公式帶給您的啟示。

反過來,當您對你自己認為的機率分佈很沒信心時,你該怎麼下注?建議您,先休息吧!股票市場天天開,天天都有賺大錢機會,別跟自己的荷包過不去。

凱利公式是我最喜歡的數學公式之一。對我來說,這公式非常有意義、且具有故事性、實用性。關於凱利公式的背景、由來、應用,我們有機會後續介紹!

參考文獻:  
Kelly, J. L., Jr. (1956), "A New Interpretation of Information Rate", Bell System Technical Journal 35: 917–926

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透過凱利公式的檢驗 (Kelly Criterion),大部份的人會發現過去所壓的資金可能都過於龐大,這就是大部份賭徒總是輸光的主要原因: 1. 玩的不是有利賭局;2. 壓的過大!

只要有心,人人都可以是賭神!好好的研究凱利公式吧~

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