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選擇權必修學分(一):進場前,先計算你的期望獲利!

計算你的期望獲利!

本文摘要:賭博、投機、投資最重要的一件事,要知道什麼樣的局可以玩、什麼時機可以進場?我們從最簡單的賭局出發,進而推廣到計算選擇權價差上的期望獲利。


 這樣的賭局你會玩嗎? 我想稍微對期望值有點概念的,答案都是肯定。我們分析如下:

換句話說,你的資產從1元變1.5元,期望報酬率為50%,這筆交易實在划算。我們可以把這樣的賭局用Fig. 1. 去表示。Fig. 1.左圖表示人頭與數字的賠率;Fig. 1.右圖表示人頭與數字發生的機率。有了賠率與機率,我們就可以計算期望報酬。期望報酬只要是正數(大於0),我們稱這是一場"有利可圖的賭局" (Favorable Game)。

所有賭局,都只是機率與賠率的設計;所有有利可圖的賭局,都是期望報酬為正的遊戲。
當你遇到期望報酬為正的賭局,那就是進場的時候!
錢幣賭局、人頭、數字、機率、賠率
Fig. 1. 錢幣賭局:人頭賠率為-1、機率為50%;數字賠率為2、機率為50%

Fig. 1. 是用一個公平錢幣 (人頭跟數字出現的機率都是50%)。然而,如果今天換成一個不公平錢幣,如Fig. 2.所示,人頭出現機率為30%,數字出現機率為70%,則期望獲利變為 70%×3+30%×0=2.1。也就是每投資1元在這賭局上,期望資產為2.1元,期望報酬率為110% (=(2.1-1)×100%)。很明顯,這樣的賭局比上一場Fig. 1. 期望報酬率為50%的賭局更吸引人,這是一場 “更”有利可圖的賭局。兩場賭局都值得進場,但進場的方法不一樣!

注意到:這裡只是強調 “進場的時機”,不是論述 “進場的方法”。進場時機抓對,進場方法弄錯,一樣慘敗收場!  

錢幣賭局、人頭、數字、機率、賠率
Fig. 2. 錢幣賭局:人頭賠率為-1、機率為30%;數字賠率為2、機率為70%

那是不是每場賭局都有利可圖呢? 沒那麼好的事!大部份的賭局都是無利可圖的。也就是說,大部份賭局的期望報酬都是負的。參考Fig. 3. ,若人頭出現機率為70%,數字出現機率為30%,則每賭1元的期望資產為 30%×3+70%×0=0.9,還比1元少了0.1元。換句話說,每賭1元,拿回來的期望資產變為0.9元。這樣的賭局玩越多次,損失就越多。您的資產以打九折的速度遞減下去。 

錢幣賭局、人頭、數字、機率、賠率
Fig. 3. 錢幣賭局:人頭賠率為-1、機率為70%;數字賠率為2、機率為30%

以上是傳統賭局的分析方法,選擇權價差也是類似的錢幣賭局。不同點在於錢幣賭局只有兩種可能發生的結果:1.人頭;2.數字。然而選擇權價差賭的是"結算時大盤指數的位置"。例如可能結算在7880、可能結算在8100、也可能結算在10000點以上(註:只是發生的機率很小)。換句話說,所有的自然數,都是有可能的發生結果,只是每一點位,都有不同的機率分佈。

已下圖Fig. 4.為例,當大盤結算在8000點以上時,此多頭價差可以賺750元;當大盤結算在7950點以下時,最多就賠1750元,而結算在7950到8000點之間時,可根據線性方程式去計算損益情形:7950~8000的斜線斜率為(750-(-1750))/50=50,故斜線方程式為 y=750+50(x-8000),其中y為獲利,x為大盤結算點數。
Fig. 4.  買權多頭價差損益圖(8000Call@35; 7950Call@70)
 我們用數學式子比較一下Fig. 1. 錢幣賭局與此Fig. 4. 多頭價差的損益。


選擇權價差上的簡單機率分佈

在錢幣賭局中,出現人頭還是數字的機率是確定的,故我們可以計算錢幣賭局的期望獲利。然而,在選擇權價差上,沒有人確定知道大盤會結算在哪個位置?每個人對"結算在哪個位置"這件事都只能用一個"個人認為的機率分佈"去表示,而每個人的看法、認知都不同,所認為的機率分佈也會不同。舉例來說,我認為結算在8000點以上的機率為50%,結算在7950~8000的機率為30%,結算在7950以下的機率為20%,如下圖Fig. 5. 所示: 
Fig. 5. 選擇權多頭價差損益圖與簡單機率分佈
 一個直觀的問題是,當你認為如Fig. 5. 這樣的機率分佈時,你該如何計算你的期望獲利?

注意到此計算的困難點在於7950~8000的期望獲利不好計算,以Fig. 5.為例,因為在此區間的機率為30%,且其損益圖形為線性,故我們可取其中間值做為平均損益,也就是(750+(-1750))/2=-500。進而計算在7950~8000點的期望資產為(-500)×30%=-150元。因此,我們計算Fig. 5.多頭價差的期望損益如下:

選擇權價差上的連續機率分佈

當你認為的機率分佈不像Fig. 5.這麼方便計算,這時我們可搬出微積分這項工具。參考Fig. 6.所示,機率分佈為一個連續的曲線f(x),我們分析如下:
Fig. 6. 選擇權多頭價差損益圖與連續機率分佈 f(x)

當指數結算在7950以下時,期望獲利為


當指數結算在7950~8000點時,期望獲利為


當指數結算在8000點以上時,期望獲利為


將上面三個算式結果相加,即為此組多頭價差在f(x)機率分佈底下的期望獲利。

為何這樣計算?請參考大一微積分教科書。需不需要深入的懂? 個人認為不需要用到微積分這種不討喜的工具,但至少要會"粗略估算"!

後續研究問題

每個人的機率分佈f(x)都不一樣,未來我們希望可以證明:當你的f(x)越準,你會賺的越多!至於怎麼定義所謂的"準",怎麼產生"準的f(x)",這些都是非常有趣的研究問題!我們後續討論...

祝 謀略成功,操作順利。 

每一次的進場,一定要確認 "自己認為的機率分佈f(x)"是什麼?在這樣的賭局上會不會有正的期望報酬?若沒有,那你只是"花錢買成交的快感"罷了!

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