選擇權必修學分(一)：進場前，先計算你的期望獲利！

計算你的期望獲利!

本文摘要：賭博、投機、投資最重要的一件事，要知道什麼樣的局可以玩、什麼時機可以進場?我們從最簡單的賭局出發，進而推廣到計算選擇權價差上的期望獲利。

這樣的賭局你會玩嗎? 我想稍微對期望值有點概念的，答案都是肯定。我們分析如下：

換句話說，你的資產從1元變1.5元，期望報酬率為50%，這筆交易實在划算。我們可以把這樣的賭局用Fig. 1. 去表示。Fig. 1.左圖表示人頭與數字的賠率；Fig. 1.右圖表示人頭與數字發生的機率。有了賠率與機率，我們就可以計算期望報酬。期望報酬只要是正數(大於0)，我們稱這是一場"有利可圖的賭局" (Favorable Game)。

所有賭局，都只是機率與賠率的設計；所有有利可圖的賭局，都是期望報酬為正的遊戲。
當你遇到期望報酬為正的賭局，那就是進場的時候！

Fig. 1. 錢幣賭局：人頭賠率為-1、機率為50%；數字賠率為2、機率為50%

Fig. 1. 是用一個公平錢幣 (人頭跟數字出現的機率都是50%)。然而，如果今天換成一個不公平錢幣，如Fig. 2.所示，人頭出現機率為30%，數字出現機率為70%，則期望獲利變為 70%×3+30%×0=2.1。也就是每投資1元在這賭局上，期望資產為2.1元，期望報酬率為110% (=(2.1-1)×100%)。很明顯，這樣的賭局比上一場Fig. 1. 期望報酬率為50%的賭局更吸引人，這是一場 “更”有利可圖的賭局。兩場賭局都值得進場，但進場的方法不一樣！

注意到：這裡只是強調 “進場的時機”，不是論述 “進場的方法”。進場時機抓對，進場方法弄錯，一樣慘敗收場！

Fig. 2. 錢幣賭局：人頭賠率為-1、機率為30%；數字賠率為2、機率為70%

那是不是每場賭局都有利可圖呢? 沒那麼好的事！大部份的賭局都是無利可圖的。也就是說，大部份賭局的期望報酬都是負的。參考Fig. 3. ，若人頭出現機率為70%，數字出現機率為30%，則每賭1元的期望資產為 30%×3+70%×0=0.9，還比1元少了0.1元。換句話說，每賭1元，拿回來的期望資產變為0.9元。這樣的賭局玩越多次，損失就越多。您的資產以打九折的速度遞減下去。

Fig. 3. 錢幣賭局：人頭賠率為-1、機率為70%；數字賠率為2、機率為30%

以上是傳統賭局的分析方法，選擇權價差也是類似的錢幣賭局。不同點在於錢幣賭局只有兩種可能發生的結果：1.人頭；2.數字。然而選擇權價差賭的是"結算時大盤指數的位置"。例如可能結算在7880、可能結算在8100、也可能結算在10000點以上(註：只是發生的機率很小)。換句話說，所有的自然數，都是有可能的發生結果，只是每一點位，都有不同的機率分佈。

已下圖Fig. 4.為例，當大盤結算在8000點以上時，此多頭價差可以賺750元；當大盤結算在7950點以下時，最多就賠1750元，而結算在7950到8000點之間時，可根據線性方程式去計算損益情形：7950~8000的斜線斜率為(750-(-1750))/50=50，故斜線方程式為 y=750+50(x-8000)，其中y為獲利，x為大盤結算點數。

Fig. 4. 買權多頭價差損益圖(賣8000Call@35; 買7950Call@70)

我們用數學式子比較一下Fig. 1. 錢幣賭局與此Fig. 4. 多頭價差的損益。

選擇權價差上的簡單機率分佈

在錢幣賭局中，出現人頭還是數字的機率是確定的，故我們可以計算錢幣賭局的期望獲利。然而，在選擇權價差上，沒有人確定知道大盤會結算在哪個位置?每個人對"結算在哪個位置"這件事都只能用一個"個人認為的機率分佈"去表示，而每個人的看法、認知都不同，所認為的機率分佈也會不同。舉例來說，我認為結算在8000點以上的機率為50%，結算在7950~8000的機率為30%，結算在7950以下的機率為20%，如下圖Fig. 5. 所示：

Fig. 5. 選擇權多頭價差損益圖與簡單機率分佈

一個直觀的問題是，當你認為如Fig. 5. 這樣的機率分佈時，你該如何計算你的期望獲利？

注意到此計算的困難點在於7950~8000的期望獲利不好計算，以Fig. 5.為例，因為在此區間的機率為30%，且其損益圖形為線性，故我們可取其中間值做為平均損益，也就是(750+(-1750))/2=-500。進而計算在7950~8000點的期望資產為(-500)×30%=-150元。因此，我們計算Fig. 5.多頭價差的期望損益如下：