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凱利賭徒的另一波高潮:Optimal f 資金控管!


牧清華是凱利賭徒的忠實愛好者,但這是一篇"幹醮"凱利的文章!

幾周前我寫了"交易跟賭博是否一樣? ",討論重點在交易跟賭博都是機率與賠率的問題。從這觀點看本質是一樣的,所以我們用凱利公式下去研究。然而,用凱利公式還是遇到幾個很大(還是很小?)的問題。

1. 凱利討論的是傳統賭局的最佳化賭法,傳統賭局有"固定的"機率跟賠率,只要期望值是正的,就可套用凱利公式下注,而實際交易卻不是這樣。(沒有固定的機率跟賠率)

2. 賭場裡的賭局是用籌碼下注,籌碼有最小單位,可能是$SGD5元、$USD5元、$MOP10元、$KRW1000元....等(交易也有口數、股價等基本單位)。而凱利卻是比例下注,當凱利下注比例小於籌碼的最小單位,或是下注金額無法用最小單位組成,將發生無法下注的窘境!


第二點只是個小問題,若是下注比例小於籌碼最小單位,通常已經很接近破產了,"快破產之賭客"神仙也難救;另外,若是下注金額無法用最小單位組成,也可用"差不多"的金額下注,與最佳化的凱利比例所賭出來的結果不會差太遠。

真正麻煩的是第一點,我們看下面例子。

假設有一個交易策略,交易10筆後的損益如下: 19、8、-7、10、-11、-5、-3、20、12、-15

根據這個損益紀錄,用凱利該如何去分析調整針對這個策略的資金控管方法? 或許你會直觀的思考:


1. 在這10筆交易裡,有5次獲利,5次虧損。勝率50%。

2. 平均賺 (19+8+10+20+12)/5 = 13.8;平均賠 (-7-11-5-3-15)/5 = -8.2,

我們將 "平均賺/平均賠" 當作賠率為13.8/8.2 = 1.68

所以根據凱利公式,這樣的交易每次該下注比例為 (p為機率、b為賠率)

[p(1+b)-1]/b = [50%(1+1.68)-1]/1.68 =  20.24%

然而,每次都壓20.24%的比例並不是最好的下注方式。以上例而言,Ralph Vince提出更好的下注概念:最佳化 f 。其理念是基於Kelly公式推導的精神。

初窺Vince's 最佳化f (Optimal f)

在論述Optimal f之前,我們還是該複習一下Kelly公式的推導:勝率為p,賠率為b的賭局。假設每次要下注f比例。則下次損益的情形分為下面兩個Cases討論。

如果贏,資金變為原資金乘上 (1 + f*b)

如果輸,資金變為原資金乘上 (1 - f*1)

再經過T次輸贏後,T次裡輸贏比例會呈現p與1-p的機率分佈,此時將每次損益連乘的式子微分取極值後,可得出凱利公式。

Vince很巧妙的採用Kelly的手法,但避開固定機率與賠率的限制。

首先考慮每次交易的"持有期收益率"(Holding Period Return, HPR)。在這10筆交易裡,最大損失為-15。第一次交易的獲利為19,因次Vince設定第一次交易的HPR為

HPR1 = 1+f*(-損益/最大虧損) = 1+f*(-19/-15)

同理,第二次交易的HPR為

HPR2 = 1+f*(-損益/最大虧損) = 1+f*(-8/-15)

第三次交易的HPR為

HPR3 = 1+f*(-損益/最大虧損) = 1+f*(-(-7)/-15)
...
...
第九次交易的HPR為

HPR9 = 1+f*(-損益/最大虧損) = 1+f*(-12/-15)
...
第十次交易的HPR為

HPR10 = 1+f*(-損益/最大虧損) = 1+f*(-(-15)/-15) = 1 - f

計算這十次交易的幾何平均數,也就是將上述十個HPR數值連乘後,再開十次方根得

Geo. Mean = (HPR1*HPR2*...*HPR10)^(1/10)

上述式子我們要決定f取多少,才能使Geo. Mean最大。這樣的手法類似Kelly求取最佳化的方法,但求取過程卻不像Kelly只需微分就好那麼簡單。

一個最簡單的辦法是採用暴力法,也就是將每一種可能的f值都算出來。

我們使用R語言計算,將比例0~100%分成一百份,也就是考慮f=1%、f=2%...、f=99%、f=100%,分別計算f在這些數值底下的HPR連乘積與幾何平均數(Geo. Mean)。

這一百個比例 f 的HPR連乘積為:




HPR連乘積與幾何平均數的圖形如下:










從圖中可發現,當取f = 31%時,預計可獲得1.3248的報酬,幾何平均為1.0285。換句話說,每次交易平均約可獲得2.85%的報酬。

然道凱利錯了嗎?

凱利告訴我們下注20.24%,Vince告訴我們最佳下注比例卻是31%,凱利錯了嗎?

我想不是的,凱利的洞機(intuition)絕對是正確的,別忘了Vince也是用了凱利的手法去解決最佳比例的問題。

Vince用曾經發生過的最大虧損當作每次輸贏可能的最大損失(當作分母),每次的損益當作分子,取代傳統賭局裡的賠率b,並計算其幾何平均數。如此避開凱利固定機率與陪率的限制。

凱利只是用在傳統賭局上,並非投資交易上,卻被許多投資人誤解,以為凱利沒有用。事實上,多半是投資人不會用而已。

這種情況,就像是你不會開法拉利,你會嫌車子爛嗎?

真正買法拉利新車的車主,是要到原廠受訓一段日子才能開車上路的呢! 然怪最近好多超跑撞爛了,可能都是買二手裝闊,沒事先訓練唷?!

延伸閱讀:至少10輛!全台超跑車禍 撞壞上億元

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PS: 截圖模特兒也叫凱利(Kelly Monaco),牧清華真的很愛Kelly~

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