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凱利賭徒高潮再起? Optimal f 徹底擊敗!?


上篇文章,牧清華介紹了Optimal f的概念與算法。Vince的動機很簡單:傳統凱利賭徒,固定機率固定賠率;而在真實交易上,機率是估計的、賠率也是估計的,且每次損益都不一樣。所以無法使用傳統凱利公式。

這點我想是最多人對凱利產生誤解的一點。有人因此認為凱利沒用;但大部分的人會把變動的機率跟賠率取個平均值,當作傳統凱利所需的機率與賠率。

這篇文章,我們就來做個比較,如果一個交易過程,用平均機率與損益當作凱利的機率與賠率;以及使用Optimal f方法,長期下來報酬相差多少?

傳統凱利 (Kelly) v.s. 最佳化f (Optimal f)

考慮一個策略的九筆損益如下:9,18,7,1,10,-5,-3,-17,-7

在這九筆交易裡,贏五次,輸四次,故勝率為p=5/9

平均賺 (9+18+7+1+10)/5 = 9 點,平均賠 (-5-3-17-7)/4 = 8 點;也就是賠率為 b=9/8

代進傳統凱利公式得每次下資金[p(1+b)-1]/b得到每次該下注16.04%。

然而,若用Vince's Optimal f計算,可得最佳下注比例應該是24% (過程可參考上一篇文章);當下注24%時,平均每筆交易是1.0102064,也就是獲利1.02064%。

現在問題來了,凱利叫我們每次下注16%,Optimal f 叫我們每次下注24%。長期下來,到底孰好孰壞?

先來比較這九次的交易,如果一個用 16%下,一個用24%下,則凱利16%會得到約8.5%的報酬,而最佳化f會得到約9.6%的報酬,如下圖所示:


兩者差異看似不多,但我們來看長期下來的結果。假設重複過程兩遍,也就是18次,則凱利到約17.72%的報酬;Optimal f得到約20.05%的報酬,如下圖所示:

如果我們再多重複幾回,描繪出到第1回合到第100回合的累計獲利圖(%),如下:


當第100回合時,總共交易了900次,Optimal f下注24%的方式,已經達到9313.34%,也就是資金成長了93倍多,而凱利下注16%只達到3490.75%,只有不到35倍的報酬。只差一點的下注方式,在900回合後,凱利獲利竟然只有最佳化f的37.5% (3490/9313)。

我們把凱利與最佳化f在每一回合後的獲利差異,整理成下圖所示 ((最佳f獲利 -  凱利獲利)/最佳f獲利):


很明顯的,隨著交易回數越來越多,Optimal f的獲利越是拉開了傳統凱利賭徒的獲利! 然而,上述只是針對一開始給定的九個損益數字,是否所有的策略損益最佳化後,都會有相同的結果呢? 我們來看下面實驗!

Optimal f 完全擊敗誤解凱利公式!?

為了研究各種可能的損益用在凱利與最佳化f後的差異,我們隨機選取100位整數,範圍界在-30到30之間,平均值為正才做交易,下面為隨機產生12組數字交易後的結果。紅點表示Optimal下注累計的獲利,藍點表示凱利下注累計的獲利。



可以發現,在12張圖裡面,紅點的位置都高於藍點(當然,因為Optimal f的選法本來就是取報酬最高的點)。然而,換個角度想,上述12個隨機實驗,都證明了傳統凱利公式並不一定會是最好的下注方法。換句話說,Optimal f可能測底擊敗傳統凱利公式? 我們再隨機產生更多組數據來驗證這個論點是否正確?!

底下是隨機產生10000組損益數據後,Optimal f與凱利賭徒比較的結果。我們拿Optimal f下注所需的比例減去凱下注所需的比例(扣掉%),10000次的結果分佈圖如下:


幸運的是,就算用傳統凱利下注方式,所用的下注比例也與最佳化f所用的下注比例相距不遠。從差異分布圖可看出,依然在0附近呈現一個鐘形分配,0代表著凱利所需的比例恰恰等於Optimal f要求的下注比例。我們統計差異如下:


在10000次的隨機實驗裡,有941次凱利比利跟Optimal f一樣,約9.4%;

有967次Optinal f - Kelly =-1 (Optimal f壓的比凱利小1%),約9.67%

有725次Optinal f - Kelly =1 (Optimal f壓的比凱利大1%),約7.25%

有972次Optinal f - Kelly =-2 (Optimal f壓的比凱利小2%),約9.72%

有666次Optinal f - Kelly =2 (Optimal f壓的比凱利大2%),約6.66%

有864次Optinal f - Kelly =-3 (Optimal f壓的比凱利小3%),約8.64%

有557次Optinal f - Kelly =3 (Optimal f壓的比凱利大2%),約5.57%

換句話說,有5692次,56.92%的機率,Optimal f的比例與凱利的比例差距在正負3%以內。

這告訴我們,如果妳不會用Vince's Optimal f,凱利就先將就用一下吧~ 至少有56.92%的機率,效果也不會差太多(誤差3%內)!

後續討論

當然,上面的分析,可能是因為我們隨機選取的損益是均勻從-30到30點之間sample出來。然而實際交易策略所產生的損益並非如此。如果我們考慮一個正常損益分布,理論上應該呈現一個鐘形分配,除了左邊部份有停損外,整體分佈有右移的趨勢,也就是獲利的次數較多且高。

如此一來,凱利的比例與Optimal f的比例是否還會很接近,我們後續在談下去了....

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