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再論槓桿空間模型 -- 資金操爆秘訣大公開!

上篇文章我們提到為什麼要將資金投入在多個獨立商品或市場! 我們介紹"槓桿空間模型(Leverage Space Model)"的概念。我發現許多朋友對這議題很有興趣,可惜牧清華似乎沒有把槓桿空間的intuition說清楚,導致許多朋友有看沒有懂。

為什麼投資多商品市場!? 傳統風控理論告訴我們為了規避風險,所以要尋找"相關係數高"的商品做交易,也因此有配對交易...等策略。而Vince卻叫你尋找相關係數低,最好還是獨立的商品或市場!?


我們依然用勝率50%,賠率為2的賭局去說明:

玩一場賭局,凱利建議下注25%。注意到這是最佳化(optimal)的結果。最佳化的意思是下注26%以上則太多,下注24%以下則太少,除了25%,其他比例長期下來獲利都比25%來的少。

那問題來了! 當我下注25%的資金時,剩下75%的資金要做什麼!? 可以再投入另外一個市場嗎!?

可以,但只能放在銀行定存、債劵...等這種幾乎100%獲利的市場,放在有風險的市場就不行。

如果我們把剩下的75%資金放在有風險的市場,注意到你原來的賭局就不會是下注25%,而是要根據兩個市場的風險機率重新評估下注比例。

因此,當你交易一場賭局,凱利告訴你最佳化25%,那就是25%,不能再多也不能在少。剩下的錢就只能拿去定存。

除非...你有機會找到另外一個獨立的商品或市場 (當然這在現實的金融市場中沒人敢保證)。假設你找到兩個獨立的市場,我們繼續拿上篇文章的例子去作比喻。

兩場勝率50%,賠率為2的商品同時玩,計算的結果是每場各押23%,總資金押46%

如果同時玩三場,每場各押21%,總資金押63%。那同時玩n場呢? 下面我們作一般通式的說明

同時玩n場賭局,這n場賭局裡,可能贏了k次,輸了n-k次。因為贏的賠率是2,輸是賠光押的籌碼,且每場賭局都是押比例f,則這樣的情況損益是

1+[2*k + (n-k)*(-1)]f

而同時玩n場賭局,贏k次,輸n-k次的機率為C(n,k)/2^n,故期望值為

(1+[2*k + (n-k)*(-1)]f)^(C(n,k)/2^n)

根據上述式子,我們做個整理,讓k = 0 跑到k = n:

贏0場,輸n-0場 (k=0):
贏0*2f,輸 n*f 比例的資金,有C(n,0)=1種排列組合

贏1場,輸n-1場 (k=1):
贏1*2f,輸 (n-1)*f 比例的資金,有C(n,1)=n 種排列組合

贏2場,輸n-2場 (k=2):
贏2*2f,輸 (n-2)*f 比例的資金,有C(n,2) 種排列組合

...


贏k場,輸n-k場 (k=3):
贏k*2f,輸 (n-k)*f 比例的資金,有C(n,k) 種排列組合

贏n-1場,輸1場 (k=n-1):
贏(n-1)*2f,輸 (n-(k-1))*f 比例的資金,有C(n,n-1) = n 種排列組合

贏n場,輸0場 (k=n):
贏n*2f,輸 0*f 比例的資金,有C(n,n) = 1 種排列組合

將上述n+1種Cases整理成一式,可得下注f比例的期望資產為

A(f) = (1+[0*2+ (n-0)*(-1)]f)^(C(n,0)/2^n)*
        * (1+[1*2+ (n-1)*(-1)]f)^(C(n,1)/2^n)*
        * (1+[2*2+ (n-2)*(-1)]f)^(C(n,2)/2^n)*
        * (1+[3*2+ (n-3)*(-1)]f)^(C(n,3)/2^n)*
           ...
        * (1+[k*2+ (n-k)*(-1)]f)^(C(n,k)/2^n)*
           ...
        * (1+[(n-1)*2+ (n-(n-1))*(-1)]f)^(C(n,n-1)/2^n)*
        * (1+[n*2+ (n-n)*(-1)]f)^(C(n,n)/2^n)


經過計算,我們整理結果如下:

同時玩1場賭局,下注25.00%,資金運用達到25.00% ; 
同時玩2場賭局,下注23.03%,資金運用達到46.06% ;
同時玩3場賭局,下注21.08%,資金運用達到63.24% ;
同時玩4場賭局,下注19.15%,資金運用達到76.60% ;
同時玩5場賭局,下注17.26%,資金運用達到86.30% ;
同時玩6場賭局,下注15.43%,資金運用達到92.58% ;
同時玩7場賭局,下注13.75%,資金運用達到96.25%。
同時玩8場賭局,下注12.27%,資金運用達到98.16%。
同時玩9場賭局,下注11.01%,資金運用達到99.09%。
同時玩10場賭局,下注9.96%,資金運用達到99.60%。

下面是同時玩n場的數據,n=1~50


圖型表示如下:橫軸為同時玩n場,n=1,2,3,...50。縱軸為下注比例。

紅點為同時玩n場時,每場個別的下注比例。綠色bar為同時玩n場時,總資金的運用比例。也就是 n*(個別下注比例)。


可以觀察到,隨著同時玩n場的次數越多,個別的下注比例是指數遞減,而下注資金比例卻會指數上升。在同時玩5場賭局時,資金比例運用已經高達86.3%,6場以上的賭局,資金運用都是九成以上,無怪乎獲利會如此驚人!

那到底資金運用比例越高,會造成多大的獲利!?  我們將同時玩1~50場的平均單次獲利倍數列在下面。從玩一場每次可獲利1.06倍,到同時玩50場每次可獲利1.482234倍。




下圖是每玩一次平均獲利倍數長條圖,有沒有發現跟上圖綠色bar圖(資金運用比例)很像。由此可知,在Leverage Space Model理,最佳化的資金比例運用越高,相對應的報酬就越大!兩者似乎是呈現線性正相關。


結論:要操爆資金,就要想辦法在最佳化f底下,讓資金運用比例越來越高,唯一的方法就是尋找多個獨立相關的商品或市場。而不是只能把剩下的錢放在100%獲微利的定存裡。


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