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排在資金控管之前:為什麼你該不斷尋找交易市場?


記得前年,我在澳門賭場看到一位中年大叔,一個人分別在兩個輪盤桌下注,看他一副心浮氣躁的樣子,我估計是因為不想等輪盤滾球落下的時間,所以先到另一桌輪盤下注。也就是等A輪盤的時間跑去玩B輪盤,這樣似乎賺錢效率比較快!

大家可能會覺得這樣的行為很荒謬,這應該只是加快賠錢的速度而已。然而,在實際的交易上,我們的確該尋找多個市場去操作。本週我們介紹Vince's Leverage Space Model (槓桿空間 )

從一場賭局出發...

假設有一場賭局,勝率為50%,賠率為2。則期望損益為

2*50% + (-1)*50% = 0.5

因為0.5>0,這是一場有利可圖的賭局。凱利公式告訴我們,該賭局的下注比例為

  [p(1+b)-1]/b = [50%(1+2)-1]/2 = 25%

我們把所有可能的下注比例所產生的損益描繪出來。如下圖,橫軸座標為下注比例,縱軸座標為玩40次後的期望損益。(因為勝率50%,可假設贏20次,輸20次)


有在follow牧清華文章的朋友,可能已經非常熟悉上面的結果,在押注25%的時候,達到最大期望獲利約為10倍。但你可能會很驚訝下面的結果!

同時玩兩場賭局: 初窺 Leverage Space Model

假設有兩場賭局一模一樣,分別為A跟B,勝率皆為50%,賠率皆為2。且賭客可以"同時"下注這兩場賭局,則該如何下注?

你可能會想,如果兩場賭局一模一樣,基本上就是一場賭局,那麼就是押Kelly比例25%的資金。如果是兩場都要同時下注,那就是一人一半,各壓12.5%。

如果你再仔細思考,你會發現事情沒有這麼簡單。這個問題,便是Vince提到的 Leverage Space Model了。

因為兩場賭局一模一樣,不失一般性,我們可假設兩場賭局下注比例皆為f。

舉例來說,如果f=20%,你有100元的初始資金,那麼第一次下注,賭局A壓了20元,賭局B也壓了20元。則有可能下面四種情形發生:

Case 1. 賭局A贏,賭局B贏;故資產變為$100 + $20*2 + $20*2 = $180元
Case 2. 賭局A贏,賭局B輸;故資產變為$100 + $20*2 - $20*1 = $120元
Case 3. 賭局A輸,賭局B贏;故資產變為$100 - $20*1 + $20*2 = $120元
Case 4. 賭局A輸,賭局B輸;故資產變為$100 - $20*1 - $20*1 = $60元

綜合來說,假設兩場賭局同時的下注比例為f,

如果是Case 1,那就是原來的資金乘上 (1 + 2f + 2f) = (1 + 4f);
如果是Case 2,那就是原來的資金乘上 (1 + 2f - f) = (1 + f);
如果是Case 3,那就是原來的資金乘上 (1 - f + 2f) = (1 + f);
如果是Case 4,那就是原來的資金乘上 (1 - f - f) = (1 - 2f);

假設一共玩40次,則平均來說,上面四種Cases每種會出現10次(平均)。這時我們可計算最佳比例f為何?也就是什麼樣的f會使得下列式子A(f)發生最大值。

A(f)=[(1+4f)^10]*[(1+f)^10]*[(1+f)^10]*[(1-2f)^10

有趣的是,上面的最佳化f算出來竟然是23%,而不是我們猜測的25%,如圖所示:

更有趣的是,再玩過40次後,期望獲利竟然高達約90倍,這遠比只玩一場這樣的賭局獲利約10倍,高出太多! 現在讀者能體會為什麼要把資金放在多個市場了嗎?這威力實在太恐怖!

我們再來看如果同時玩三場這樣的賭局。如果是同時玩三場賭局ABC,那會有8種Cases:

Case 1. 賭局A贏,賭局B贏,賭局C贏:原資金乘上 (1+2f+2f+2f)=(1+6f);
Case 2. 賭局A贏,賭局B輸,賭局C贏:原資金乘上 (1+2f-f+2f)=(1+3f);
Case 3. 賭局A輸,賭局B贏,賭局C贏:原資金乘上 (1-f+2f+2f)=(1+3f);
Case 4. 賭局A輸,賭局B輸,賭局C贏:原資金乘上 (1-f-f+2f)=1;
Case 5. 賭局A贏,賭局B贏,賭局C輸:原資金乘上 (1+2f+2f-f)=(1+3f);
Case 6. 賭局A贏,賭局B輸,賭局C輸:原資金乘上 (1+2f-f-f)=1;
Case 7. 賭局A輸,賭局B贏,賭局C輸:原資金乘上 (1-f+2f-f)=1;
Case 8. 賭局A輸,賭局B輸,賭局C輸:原資金乘上 (1-f-f-f)=(1-3f);

如圖所示,同時玩三場這樣的賭局,則每場賭局最佳比例為21%,在40次後期望報酬達到622倍!

啥咪? 622倍,有沒有搞錯,不過多一場賭局,從10倍成長到90倍,再成長到622倍。

有沒有發現,當你同時玩越多場賭局,每一場賭局各別的下注比例去會越來越小,從25%到23%,再到21% ,雖然整體部位而言是用了25%、23%*2=46%、21%*3=63%,但風險卻沒有因此降低,反而最後整體可獲得的期望報酬卻會成長變大,而且大的速度還是"飛快成長"!

下圖我們將上面三個結果做個整理,由於同時玩三種賭局賺得太多(622倍),而原始只玩一場的凱利賭局只賺10倍,故我們在報酬率的地方取Log呈現。


在看了這樣的結果後,相信讀者已能體會尋找多個市場交易的重要性。然而,事情沒有那麼簡單,注意到上述賭局彼此之間是互相獨立的,也就是賭局A會開出怎樣的結果跟賭局B無關,也跟賭局C無關。這在實際的金融市場不是如此,市場與市場之間彼此會有連動性,可能是正相關居多,一起漲也一起跌;也可能是負相關,一個商品漲另一個商品跌,這時就要把
"相關性"這個變量考慮進去。在Kelly公式的延伸上,Vince's Leverage Space Model正是在處理這樣的問題。

排在資金控管之前,英雄慎選"多元"戰場!

我始終說,資金控管才是交易的王道。然而,排在資金控管之前,更重要的是慎選戰場。
在交易這一塊,英雄不只要慎選戰場,還要選擇"多元"戰場。 只有選擇有利可圖的市場,分析彼此的相關性,做出最金資金比例的分配,如此才能一開始就站在有利的基點上,縮小風險,將利潤放到最大! 

In Some Sense,選擇多元市場也是一種資金控管!

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