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初談套利 (Arbitrage):天下真有白吃的午餐?







本文摘要:我們首次介紹套利概念,並舉出簡單範例:藉由現金存放與股票買賣所組成的投資組合,複製傳統選擇權買權,並且進行價差套利。我們指出,資訊的不對稱,往往使得市場上的聰明人真的可以白吃別人的午餐。


金融市場到底有沒有"穩賺"這件事?答案是有的。

所謂穩賺,就是100%獲利,保證賺錢。我們通常稱這樣的交易為套利。把利潤套住了,跑都跑不掉,你只需要等待,等待套好到的錢流入你的口袋。


只是套利的發生機會渺茫、獲得的利潤微小,一般投資人不容易發現,就算發現,也可能來不及下單。通常市場上職業級的玩家、法人、計量交易員皆會做類似的套利交易。

我們從最簡單的例子出發,試著敘述套利行為:

有一檔股票S。在時間點 t = 0 時,股價為100元。假設未來在時間點 = 1 時,有60%的機率漲到120元;有40%的機率跌到80元,如圖一左圗所示。

圖一:(左圖)股價二元模式。 () 到期日為 = 1,履約價為110元的買權

簡單的計算可知這是一個很好的投資機會,期望獲利為120 60% +80 40% = 104 > 100,這是一個有利賭局(Favorable Game)

聰明的讀者可能已經想到,可以使用過去幾週我們討論的凱利公式(Kelly Formula)下注。利用凱利公式去計算該買進多少金額的股票,以達到獲利期望值最大化。

凱利賭徒的迷思

沒錯,根據凱利公式,若只是單純的買賣股票,凱利公式或許是你最好的參考工具之一。然而,凱利下注也有缺點,注意到我們討論的是獲利期望值最大化,也就是凱利公式是在相同賭局可以重複玩無限多次的情況下,將獲利最大化的下注方式。若你只是玩一次,然後輸了,那凱利公式可能不是很適合的下注方法。

既然這樣,有沒有方法是在圖一左圗的認知條件下,還可以"保證獲利"呢?我們介紹一種選擇權的套利方法。

考慮圗一右圗選擇權的買權(Call),此買權到期日為時間 = 1,履約價為110元。換句話說,當= 1且股價漲到120元時,我有權力用110元的價位買進當時價值為120元的股票,所以此買權的價值為 10 = 120 - 110 (元)。

另一方面,當 = 1且股價跌到80元,這時就不要執行買權所賦予的權力。當然,此時的買權價值為 0。我們假設 X 代表此買權的價值,如圖二所示。

圖二:選擇權買權在時間點 =1 的價值
注意到在圖二裡,我們只知道選擇權在時間點 = 1 的價值是多少?在時間點 = 0 的價值並不清楚。然而,我們可以從時間點 = 1 的買權價值回推。如圖三所示:

圖三:從履約日選擇權的價值回推在時間點 = 0 的價值。

由於股價有60%的機率漲到120元;40%的機率跌到80元,換句話說有60%的機率此買權的價值為10元;有40%的機率此買權的價值為0元。因此,此買權在時間點 = 0 的價值應該為

換句話說,在時間點 = 0 時,此買權的價格"理論上"應該為6元。

複製買權

我們是否可以用其他金融商品組合成具有如同圖三相同損益的買權。答案是可行的。用"存放款"跟"買賣股票"就可做到!

我們將 元存入銀行,並且買 股股票。為了方便計算,假設銀行利率為= 0。若這樣的投資組合要跟圖三的買權收益一樣(時間點 = 1時的損益),我們可設下面聯立方程式:

這意思代表,我們要向銀行借20元後,再去買0.25股的股票。由於在時間點 = 0時股價為100元,買0.25股需要花25元。我們可拿借出來的20元,再加上自掏腰包5元,即可購買0.25股的股票。注意到,做這檔買賣所花的成本只有5元。當時間點 = 1,股價來到120元時,帳面價值為10元,當時間點 = 1 且股價跌到80元時,帳面價值為0元。(如圖四所示)

圖四:利用存放款與買賣股票何成選擇權買權

如何套利?

現在我們有兩項金融商品可做比較。第一項是原來的選擇權買權,履約價為110元,在時間點 t = 0 時價值為6元,也就是要買進此買權只需花成本6元。第二項為借錢與買股票的投資組合,在時間點 = 1時具有與第一項選擇權相同的損益,但成本只需5元。

很直觀的套利行為發生了:在時間點 = 0,若有人願意用6元跟你買此檔買權,你就可以進行套利交易。步驟如下:

Step 1. 將圖三的買權用6元的價格出售。
Step 2. 將售出買權所獲得的6元分成兩部份:5元跟1元。花5元組合出具有同等損益的買權,如圖四左上角。
Step 3. 剩下的1元即為此次套利所獲得的金額。

注意到在Step 1賣出的買權已在Step 2用組合的方式買回來,因此可視為手上是沒有任何部位的。此次套利所獲得的獎勵即為Step 31元。

為什麼用"獎勵"這樣的字眼?因為套利機會的出現,取決於市場玩家資訊的不對稱。你比別人瞭解的多,你獲得的獎勵(利潤)就多。上述的過程很神奇嗎?我們將在下篇文章裡繼續討論。

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天底下或許真有白吃的午餐,但在這些白吃的背後,必有其聰明的故事!

仔細去研究,你會發現就是因為他人的"白癡",造成市場資訊的不對稱,才讓聰明人有機會可以"白吃"套利!

到底是白吃? 還是白癡?傻傻分不清楚,我們下篇將繼續探討!

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