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奇怪的賭局悖論: 為何賭神、賭聖、賭俠都愛梭哈!? (Show Hand)

在賭神系列電影裡,常常看到最關鍵的一刻,Show Hand!! 主角很帥氣地把檯面上所有籌碼推出去,將剩下的牌一次發完,一次定輸贏,多帥氣啊!

在實際生活裡,你一定不可能這樣做,萬一輸了就全沒了! 而凱利公式也告訴我們確實如此,最好的下注方式是根據機率、賠率計算出來的凱利比例下注,只有當100%勝率時才會全押。

然而,下面我們有一個推論,告訴你把把全押(100%),Show Hand才是最好,似乎證明賭神不愧是賭神,Show Hand才是王道!

考慮一場賭局勝率50%,賠率為2。(期望值為50%*2 + 50%*(-1) = 0.5)

假設玩1次,每次下注f 比例,則玩1次後的期望值為

50%*(1+2f) + 50%*(1-f) = 1+0.5f

當f=100%時,玩1次賭局有最大期望值1.5。

讓我們再看玩2次的case。每次下注f 比例,玩2次後的期望值計算如下。

根據二項式定理,玩2次的輸贏共有下面三種組合:

贏0次,輸2次的機率為0.5^2,押f 比例資產變為(1-f)*(1-f)

贏1次,輸1次的機率為2*0.5^2,押f 比例資產變為(1+2f)*(1-f)

贏2次,輸0次的機率為0.5^2,押f 比例資產變為(1+2f)*(1+2f)

將上面三種組合的資產乘上機率,可得期望值為(1+0.5f)^2。

當f=100%時,玩2次賭局有最大期望值1.5^2。

假設玩3次,每次下注f 比例,玩3次後的期望值計算如下。

根據二項式定理,玩3次的輸贏共有下面四種組合:

贏0次,輸3次的機率為0.5^3,押f 比例資產變為(1-f)*(1-f)*(1-f)

贏1次,輸2次的機率為3*0.5^3,押f 比例資產變為(1+2f)*(1-f)*(1-f)

贏2次,輸1次的機率為3*0.5^3,押f 比例資產變為(1+2f)*(1+2f)*(1-f)

贏3次,輸0次的機率為0.5^3,押f比例資產變為(1+2f)*(1+2f)*(1+2f)

將上面四種組合的資產乘上機率,可得期望值為(1+0.5f)^3。

當f=100%時,玩3次賭局有最大期望值1.5^3。

依此類推....這太神奇了,似乎不管玩幾次,把把全押的期望值才會最大。

事實上若賭局的機率為p,賠率為b,有興趣的讀者可自行推導一下,玩T次後期望值為

(1+f [p(1+b) - 1])^T

一樣當f=100%時,上述式子有最大值。

注意到要讓上式最大化,跟T無關,只要p(1+b)-1>0,也就是期望淨利是正,f 就要選100%。

這意味著,只要是有利可圖的賭局(也就是p(1+b)-1>0),那怕是只有一點點微利,你都要將你的籌碼全押下去。

因此,我們得到一個讓眾人跌破眼鏡的結論: 把把全押,才是王道。聖 盃 啊!

現在,下面兩個選項讓你選,你選哪一個?

1. 這樣的結論當然是錯的,但是上面的邏輯推演似乎沒有瑕疵,有人可以明確指出問題在哪嗎? 

2. 這的確是一般人錯誤的認知! 也就是只要有利可圖的賭局,那怕期望淨利是一點點微利,你都該把籌碼全押下去!?

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許多人會以為這問題很簡單。事實上這個問題曾經讓牧清華困惑了很久! 看似簡單又明瞭的推演,卻違反了我們的認知,偏偏又說不出哪裡有問題!

歡 迎 大 家 共 襄 盛 舉,用 力 辯 駁,牧 清 華 非 常 期 待!

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