在實際生活裡，你一定不可能這樣做，萬一輸了就全沒了! 而凱利公式也告訴我們確實如此，最好的下注方式是根據機率、賠率計算出來的凱利比例下注，只有當100%勝率時才會全押。
然而，下面我們有一個推論，告訴你把把全押(100%)，Show Hand才是最好，似乎證明賭神不愧是賭神，Show Hand才是王道!
考慮一場賭局勝率50%，賠率為2。(期望值為50%*2 + 50%*(-1) = 0.5)
假設玩1次，每次下注f 比例，則玩1次後的期望值為
50%*(1+2f) + 50%*(1-f) = 1+0.5f
當f=100%時，玩1次賭局有最大期望值1.5。
讓我們再看玩2次的case。每次下注f 比例，玩2次後的期望值計算如下。
贏1次，輸1次的機率為2*0.5^2，押f 比例資產變為(1+2f)*(1-f)
贏2次，輸0次的機率為0.5^2，押f 比例資產變為(1+2f)*(1+2f)
將上面三種組合的資產乘上機率，可得期望值為(1+0.5f)^2。
當f=100%時，玩2次賭局有最大期望值1.5^2。
將上面三種組合的資產乘上機率，可得期望值為(1+0.5f)^2。
當f=100%時，玩2次賭局有最大期望值1.5^2。
根據二項式定理，玩3次的輸贏共有下面四種組合：
贏0次，輸3次的機率為0.5^3，押f 比例資產變為(1-f)*(1-f)*(1-f)
贏1次，輸2次的機率為3*0.5^3，押f 比例資產變為(1+2f)*(1-f)*(1-f)
贏2次，輸1次的機率為3*0.5^3，押f 比例資產變為(1+2f)*(1+2f)*(1-f)
贏3次，輸0次的機率為0.5^3，押f比例資產變為(1+2f)*(1+2f)*(1+2f)
將上面四種組合的資產乘上機率，可得期望值為(1+0.5f)^3。
將上面四種組合的資產乘上機率，可得期望值為(1+0.5f)^3。
當f=100%時，玩3次賭局有最大期望值1.5^3。
依此類推....這太神奇了，似乎不管玩幾次，把把全押的期望值才會最大。
事實上若賭局的機率為p，賠率為b，有興趣的讀者可自行推導一下，玩T次後期望值為
(1+f [p(1+b) - 1])^T
一樣當f=100%時，上述式子有最大值。
注意到要讓上式最大化，跟T無關，只要p(1+b)-1>0，也就是期望淨利是正，f 就要選100%。
這意味著，只要是有利可圖的賭局(也就是p(1+b)-1>0)，那怕是只有一點點微利，你都要將你的籌碼全押下去。
因此，我們得到一個讓眾人跌破眼鏡的結論: 把把全押，才是王道。聖 盃 啊!
現在，下面兩個選項讓你選，你選哪一個?
現在，下面兩個選項讓你選，你選哪一個?
1. 這樣的結論當然是錯的，但是上面的邏輯推演似乎沒有瑕疵，有人可以明確指出問題在哪嗎?
2. 這的確是一般人錯誤的認知! 也就是只要有利可圖的賭局，那怕期望淨利是一點點微利，你都該把籌碼全押下去!?
2. 這的確是一般人錯誤的認知! 也就是只要有利可圖的賭局，那怕期望淨利是一點點微利，你都該把籌碼全押下去!?
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許多人會以為這問題很簡單。事實上這個問題曾經讓牧清華困惑了很久! 看似簡單又明瞭的推演，卻違反了我們的認知，偏偏又說不出哪裡有問題!
歡 迎 大 家 共 襄 盛 舉，用 力 辯 駁，牧 清 華 非 常 期 待!
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