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資金管理的數學:博弈 v.s. 交易



不久前我寫過一篇文章:交易跟賭博是否一樣!? 後來這半年我陸續介紹Vince的最佳化比例 (Optimal f)、槓桿空間模型 (Leverage Space Model, LSM)...等較多數學內容的文章,這些模型,無非都在講一件事:

發展交易策略的本質,就是機率與賠率所衍生的各種變化,決定下注比例 f。

由於之前以介紹過這些理論,現在我們可以把"這件事"說得更清楚點。

博弈的本質:固定機率、固定賠率

博弈本質很簡單,以輪盤比大小為例,就是18/37的勝率,1的賠率(輸1枚 or 贏1+1= 2枚)。

注意到18/37是因為共有37個數字(0,1~18,19~36)。以機率而言,平均37次會出現18次小,18次大。但這不是絕對,會有誤差。根據二項式分配其實誤差還不小,只是隨著下注次數越來越多,輸贏的比率越會接近18/37,這是統計學的大數法則告訴我們的。

然而,勝率18/37並不代表每玩37次就會贏18次。我們可以做個模擬,玩輪盤1000次,每100次計算一次勝率,則某一次模擬的勝率曲線變化如下:


可觀察到1000次的輪盤賭局裡,每37筆觀察一次勝率,曾經有勝率低到20%以下,也有勝率高達60%以上。

為了方便說明,我們拿銅板賭局為例:假設勝率50%,賠率為2的賭局。這樣的賭局就像一個盒子裡裝有兩顆球,一顆是-1,一顆是+2,而銅板賭局每次的損益都是從這盒子裡抽出這兩顆球。

(-1,2)  => 取樣
(-1,2)  => 取樣
...
(-1,2)  => 取樣
(-1,2)  => 取樣

我們可以說,(-1,2)就是這個博奕遊戲"唯一"的損益分佈,即使實務上勝率的呈現可能有很大的範圍變化 (例如上例20%~60%),但機率分佈就是固定的,已輪盤來說固定的損益分佈就是

(18個1,19個-1)  or 寫成

(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1)

注意到上面的1和-1的排列順序無關,盒子裡的球是亂的,所以就是18/37的機率會抽到1,19/37的機率會抽到-1。

也是因為有固定的損益分佈,所以Kelly可以用"固定的"下注比例讓資產成長最大化。可惜,這樣的手法,在交易上就沒這麼美妙,而Ralph Vince就試圖解決這個問題。

交易策略的損益分佈,存在與否都是個問題!?

對一個交易策略來說,它在某段時間的損益是很多不同的正負數字所組成的,不像賭局只有一個正數跟一個負數。下面是某一個策略的前100筆損益。基本上這樣觀察很難看出任何規則,更不用說是否存在著損益分佈!?



但Ralph Vince試圖這樣去分析:

把這個策略最初的100筆損益數字(如上圖),看做是100顆球放在一個盒子裡。而這策略未來的損益分佈,就是從這100顆球裡抽取抽來。

如果真是這樣,那麼就存在最佳下注比例方式,也就是Ralph Vince所發展的Optimal f計算,細節請參考Here!

Ralph Vince的做法已經將Kelly公式更貼近交易的損益分佈,但我想敏銳的讀者必定已經察覺,這樣的做法只是比賭局的損益更接近交易的損益,與實際還是有段距離。

一個策略的損益分佈,肯定不具有固定的勝率與賠率,也就是整個市場的價格行為會隨著時空環境不同而有所改變,連帶著影響策略所衍生出的損益分佈。

而這也正是Kelly或是Optimal f下注方法最為人所詬病的地方。一旦拿過去的損益分佈當做未來損益分佈的樣本。如果預估正確那很好;如果預估不正確,那Optimal f下注方式往往會造成過大的資金比例下注,而造成一次性的巨大損失。

也正因如此,隨後陸續有人提出各種資金管理方法。

1. 固定分數法(Fixed Fraction):這也是最基本的管控辦法,將每次可容忍的風險比例固定(例如總資金的5%),再除上策略的最大損失去計算每次的交易口數。

2. 固定資金比例(Fixed Ratio)法:Ryan Jone 於1999年提出,有興趣的讀者可參考Trading Game這本書!

3. 安全f值法(Secure Fraction):由 Leo J. Zamansky於1998年所提出,可參考link

4. 變動比例法:也就是著名的資金管理大師 Van Tharp博士所提出R-multiple概念,其著作Definite Guide to Position Sizing更是Position Sizing必讀的經典。

當然,也有人將上述不同的資金管理辦法做各種組合,例如結合固定分數與固定比例(link)。

各家的資金管理方法百花爭鳴,各有巧妙;就像武林上各家門派,各種武功,互有長短。

但無論如何,都是為了交易策略勝率與賠率的"不確定性" (或著說策略的穩固性) 因應而生。所有的資金管理辦法,都在試圖降低策略機率與損益的不確定性,拉高策略損益分布的穩固性。

如果交易策略損益分布是穩固的,那數學公式就可最佳化;但通常績效都不夠穩固,所以也有人針對策略績效指標做研究,例如MAR指數改寫成更穩固的4R指數(Robust Risk/Reward Ratio)、或用固定的加碼策略看能否拉高風報比去衡量(語亭大最推薦)。

因次我們做個小結論:

如果你對策略的勝率賠率很有把握,例如在某個信心水準之上,那無疑地用Vince's Optimal f方法,會是最好的選擇。對賭局來說就是如此,長期下來有"絕對把握"的勝率跟賠率,造就了凱利賭徒(Kelly Trader)。

可是如果你用的交易策略損益分布,不穩固性很大,那你要用更保守的資金管理辦法去執行。

即使是Vince本人,也下這樣的結論:『如果你想長期交易,就需要使用一種更加謹慎、風險更小的資金管理辦法;而如果你只想大賺一筆,使用凱利公式或是最佳化f去執行。』

話說,也正是因為有"不穩固性"這種變數,交易才如此迷人;不然,就只是一個具有正期望值的傳統賭局,沒啥挑戰!!

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